充分性:如果= 观江西理工大兽噜院 在G内恒成立 ax 则「P+Q小在G内与路径无关 (x,y) 设u(x,y) Pax +ody (X 0 ou= lim u(x+ Ax, 3-u(x, y) ar△r->0 △ B(X, I B(x+Δ,y) u(x+ ax y)-u(x, y r(x+4r, y) r(x, y) J(o, yo) (x,y0) (x y) r (x+4r, y) r (x, y) (x+4x, y,) G Jo, yo)J(x, 050 X e x+x Pax +ody BB P(x, y)dx x江西理工大学理学院 充分性： G ， x Q y P 如果 在 内恒成立 ∂ ∂ = ∂ ∂ 则 Pdx Qdy 在 G内与路径无关 L∫ + ∫ = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y 设 u x y Pdx Qdy x y o B ( x , y ) A ( , ) 0 0 x y . . B′( x + ∆x , y ) G x u x x y u x y x u x ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∆ → ( , ) ( , ) lim0 u ( x + ∆x , y ) − u ( x , y ) ∫ ∫ + = − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x x y x y x y x y ∆ ∫ ∫ + = + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 x y x y x x y x y ∆ ∫ − ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ∫ + = ( , ) ( , ) x x y x y ∆ ∫ ′ = + B B Pdx Qdy . ∫ + = x x x P x y dx ∆ ( , )