3页 22解析函数 解析函数在区域G内每一点都可导的函数,称为G内的解析函数 在数学书籍中常把解析{ analytic)称作“全纯”( holomorphic).更早的文献中使用过的同义语 还有" chomodromic”(单值)、“ monogenic”(单演)、“ regular"(征正则)和“ synetic”等,这些术语原来 都是用来分别描写解析函数的某个特性,后来才认识到它们是互相等价的,因而很少再用 函数u=f(2)在G内解析的必要条件在G内处处满足 Cauchy- Riemann方程 1814年, Cauchy在讨论(实的)二重积分换序时得到了 Cauchy- Riemann方程,然而他并没有 把这些方程看成是(复)函数论的基础. Riemann是第一个要求d/dz的存在性是指△/△z的极 眼必须对于z+Δz趁近于z的每一条途径都相同的人,他认识到函数∫(z)=u+i在一点及其邻 域解析,如果它连续可嶶并且满足 Cauchy-Rieman方程 其实所谓的 Cauchy- lemani方程,更早就曾经出现在d' Alembert关于流体理论的著作中(1752 年),在 Euler(177年)和 Lagrange的著作中也出现过, 解析函数的实部和虚部不是独立的. Cauchy- Riemann方程反映了解析函数的实部与虚部之 间的联系.例如,因为 dr + ody dz ody 是全微分,因此,由解析函数的实部u(x,y),通过积分 可以唯一地(可差一个可加常数)确定虚部v(x,y) 同样,已知解析函数的虚部υ(x,引),也可以唯一地(也是可差一个可加常数)确定其实部 例21已知v(x,y)=x2-y2,求f(z) 解xxy=2(vdx+dy),所以v=2xy+C f(2)=(x2-y2)+i(2xy+C)=2+iC 另解在u(x,y)中直接代入 而后将u(x,y)化成[f(2)+f”(2)2的形式 u(, y)= 同样也能求出f(2)=2+iC￾✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 3 ✟ §2.2 Ü Ý Þ ✑ ßà❹ ✘ ✫✛✜ G ✢á❑✭➱ ✱✲✣✦✧★✰✸ G ✢✣âã✦✧✳ ❬➝ äåæ çèéêë (analytic) ìí î ïðñ (holomorphic) ✳ òó❥ôõ çö÷♦❥ ❤øù ú❦ “homodromic”(û ♠ ) ü “monogenic” (ûý) ü “regular”(þ✇) ➑ “synetic” ÿ✳￾✁✂ù✄♣ ❣①÷♣☎✆✝ ✞êë➜➝❥ ✟✠✡☛★☞ ♣ ✌✍✎✏✑✒①✓✔ÿ✕ ❥ ★✖✗✘ ✙✚÷✳ ❹ ✘ w = f(z) ✛ G ✜ ßà❺❻❼❽❾ ✫ G ✢➸➸✢✣ Cauchy-Riemann ⑨➇✳ 1814 ✤★ Cauchy ❬✥✦ (➏❥) ✧★✩☎✪✫❢✬ ✏ ✭ Cauchy-Riemann ❜➛★ ✮ ✗✯✰✱❦ é￾✁❜➛✲✳① (✴) ➜➝✦ ❥✵✶✳ Riemann ① ✷✸✠✹✺ dw/dz ❥ ❩❬☛ ①✻ ∆w/∆z ❥✼ ❧✽✾✿❡ z + ∆z ❞❀❡ z ❥❁ ✸❂❃❄❣✔ ❤❥❅ ✳✯ ✍✎✏➜➝ f(z) = u + iv ❬✸❆❇❈❉ ❊ êë★rs✑❋●➔→✰↔↕➙ Cauchy-Riemann ❜➛✳ ❈ ➏❳❨❥ Cauchy-Riemann ❜➛★ òó❭ ❍■ ❏❑ ❬ d’Alembert ▲❡▼◆❖✦ ❥P í ç(1752 ✤) ✳❬ Euler(1777 ✤) ➑ Lagrange ❥P í ç◗ ❏❑♦ ✳ âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆➍✚❙❚✣✳ Cauchy-Riemann ⑨➇◆❯ ➶âã✦✧✣➠ ❆❱ ❘ ❆ ❖ ❲ ✣❳❨✳❰✩★❯ ✸ dv = ∂v ∂xdx + ∂v ∂y dy = − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy ✚❩▼❇★❯✴ ★❬âã✦✧✣➠ ❆ u(x, y) ★❭❪❫❇ Z (x,y)  − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy  , ✱✽❴❑❵ (✱❛❑➆✱❜❝✧) ❞ ❋❘ ❆ v(x, y) ✳ ❡ ➤★❢❣âã✦✧✣❘ ❆ v(x, y) ★❱✱✽❴❑❵ (❱✚✱❛❑➆✱❜❝✧) ❞ ❋❀➠ ❆ u(x, y) ✳ ❤ 2.1 ❢❣ u(x, y) = x 2 − y 2 ★➬ f(z) ✳ ß dv = − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy = 2(ydx + xdy) ★✐✽ v = 2xy + C ★ f(z) = ￾ x 2 − y 2
+ i(2xy + C) = z 2 + iC. ❥ß ✫ u(x, y) ❁❦❧♠♥ x = z + z ∗ 2 , y = z − z ∗ 2i , ♦♣q u(x, y) r✿ [f(z) + f ∗ (z)]/2 ✣➢⑩ ★ u(x, y) =  z + z ∗ 2 2 −  z − z ∗ 2i 2 = 1 2 z 2 + ￾ z 2
∗ , ❡ ➤❱➨➬➫ f(z) = z 2 + iC ✳