(一定能够!为什么?否则,说明什么问题?) 解析函数的实部、虚部之间的这种互相依赖关系,还可以形象化表现出来.如果在平面上作 族曲线,u(x,y)=常数,那么,这一族曲线的切线的方向矢量便是(Ou/0y,-0u/Ox).同样,再作 族曲线,v(x,y)=常数,它们的切线的方向矢量当然也就是(/0y,-0/0x).由 Cauchy-Riemann 方程,可以求得这两族方向矢量之间的标积 auauau du dy dy ax dr 这表明,这两族曲线是互相正交的.图2.1中给出了两个这样的例子.它们分别是函数u=2和 1/2.图中的粗实线表示实部u(x,y)=常数,细实线表示虚部v(x,y)=常数 图2.1 ★任意一个二元函数,是否都可以用来作解析函数的实部或虚部呢? 回答是否定的.32节中将证明,作为解析函数的实部和虚部,u(x,y)和v(x,y),它们的二 阶偏导数一定存在并且连续,因此,根据 cauchy- Riemann方程,有 a-u a au a2v dr2 dr dy drdy y2 ay(ar a. ax( dy a2u a au a2u y2 dy dr drdy 这说明,u(x,y)和v(x,y)都必须满足二维 Laplace方程 dxr28n2=0, x2+a2=0 即解析函数的实部和虚部都必须是调和函数§2.2 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 4 ✟ (✸st✉ ✈ ✇① ② ③④ ✇★q ⑤① ②⑥⑦ ③ ) âã✦✧✣➠ ❆ü❘ ❆ ❖❲ ✣ ➅ ⑦⑧⑨⑩❶❷❨★ ❸ ✱✽➢❹r❺❻➫ ❮ ✳✩✪✫❼❽➼ ❉❑ ❾ ❿❄★u(x, y) = ❝✧ ★ ➀➁★ ➅ ❑ ❾ ❿❄✣➂❄✣⑨ ➃➄ ✼➅✚ (∂u/∂y, −∂u/∂x) ✳ ❡ ➤★➆ ❉❑ ❾ ❿❄★v(x, y) = ❝✧ ★ ➇➈✣➂❄✣⑨ ➃➄ ✼➉ ◗ ❱❶✚ (∂v/∂y, −∂v/∂x) ✳❬ Cauchy-Riemann ⑨➇★✱✽➬❷➅ ⑥ ❾⑨ ➃➄ ✼ ❖❲ ✣➊❫  ∂u ∂y , − ∂u ∂x   ∂v/∂y −∂v/∂x   = ∂u ∂y ∂v ∂y + ∂u ∂x ∂v ∂x = 0. ➅ ❺ ❏ ★ ➅ ⑥ ❾ ❿❄✚⑧⑨➋➌✣✳➍ 2.1 ❁➎ ➫➶⑥➆➅ ➤✣❰➏✳ ➇➈❇ ③ ✚✦✧ w = z 2 ➟ w = 1/z2 ✳➍ ❁ ✣➐ ➠ ❄❺➑➠ ❆ u(x, y) = ❝✧ ★➒ ➠ ❄❺➑❘ ❆ v(x, y) = ❝✧ ✳ ➓ 2.1 F ➔→➣↔↕➙❹ ✘ ★➛➜➝❂➞➟➠➡ßà❹ ✘❺➢➤➥➦➤➧ ③ ➨➩✚➫ ❋ ✣✳ 3.2 ➭ ❁q■ ❏★❉✸âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆★ u(x, y) ➟ v(x, y) ★ ➇➈✣➯ ➲➳✲✧❑❋✮✫ ❘❙➥➦★❯✴ ★➵➸ Cauchy-Riemann ⑨➇★➲ ∂ 2u ∂x2 = ∂ ∂x ∂v ∂y = ∂ 2v ∂x∂y , ∂ 2u ∂y2 = ∂ ∂y  − ∂v ∂x = − ∂ 2v ∂x∂y , ∂ 2v ∂x2 = ∂ ∂x  − ∂u ∂y  = − ∂ 2u ∂x∂y , ∂ 2v ∂y2 = ∂ ∂y ∂u ∂x = ∂ 2u ∂x∂y . ➅➺ ❏ ★ u(x, y) ➟ v(x, y) ➱ ➈➻✢✣➯➼ Laplace ⑨➇ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 = 0. ✹âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆ ➱ ➈➻✚➽ ➟ ✦✧✳