证设∫(x)为任意一个在(-∞,+∞)无穷次可微的函数,则 ∫b(-)(h=(m)/(-u)m=f0),又由。-函数的筛选性质知a0)0d=f(0),知 6(-1)f(n)d=6()f()d,故-函数是偶函数。 12.证明:若e]=F(O),其中o(1)为一实函数,则 sIcoso(0]=a[F(o)+F(-o)], slsinp(]I [F()-F(-) 其中F(-)为F(-O)的共轭函数 证因为c0=cosg()+jing(),em=cosq()- Jsin g/( 所以 cosp(O) (*) sin o(t)= 但 sle-ipo]Ce-ietoe-iemdt=eiee - d=F-o) 由本题()、()式得 soso(=sk小-4y-=o)+Fa 4+:pr可 13.证明周期为T的非正弦函数f()的频谱函数为F(O)=2∑cn6(a-a0),其中Cn为f(1)的傅氏级 数展式中的系数。 证设叫=2x,则周为T的非正弦函数/(O的傅氏级数的复指数形式为:(=∑ce )/()=/()c-=∑em-=em ∑ c2n6(0-m)=2∑c1o(-mm) 14.求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 证 设 f (x) 为任意一个在( , −∞ +∞) 无穷次可微的函数，则 δ δ ( )t f (t)dt ( u ) f ( u ) du f ( 0 ) +∞ +∞ −∞ −∞ − = − = ∫ ∫ ，又由 δ − 函数的筛选性质 知 ，知 ，故 δ ( )t f ( )t d t f ( 0 ) +∞ −∞ = ∫ δ δ ( t f ) ( )t dt ( )t f ( )t d t +∞ +∞ −∞ −∞ − = ∫ ∫ δ −函数是偶函数。 12．证明： 若 ¶[ ] j ( ) ( ) t e F ϕ = ω ，其中 ϕ( t ) 为一实函数，则 ¶ 1 [cos ( )] [ ( ) ( )], 2 ϕ t F = + ω ω F − ¶ 1 [sin ( )] [ ( ) ( )], 2j ϕ t F = ω ω − F − 其中 F( ) −ω 为 F ( − ω)的共轭函数。 证 因为 ( ) ( ) ( t ) j cos jsi n t e t ϕ = + ϕ ϕ ， ( ) ( ) ( ) j cos jsi n t t t ϕ ϕ ϕ − e = − 所以 ( ) ( ) ( ) 2 cos （ * ） i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − + = ( ) ( ) ( ) 2 i sin i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − − = （** ） 但 ¶ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ − − +∞−∞ − − − e = e e dt = e e dt i ϕ t i ϕ t i ωt i ϕ t i ω t = F ( − ω ) 由本题 ( * ) 、 ( * * )式得 ¶ [ ( ) ] 21 cos ϕ t = { ¶ ( ) [ ] + t e i ϕ ¶ ( ) [ ] t e − i ϕ } = [F( ) ω + F ( − ω ) ] 21 ] { ¶ ( ) [ ] − t e i ϕ ¶ ( ) [ ] t e − i ϕ } = [F( ) ω − F ( − ω ) ] 2 i 1 ¶ [ ( ) 2 i 1 sinϕ t = 13 ．证明周期 为 T 的非正弦函数 f ( t )的频谱函数为 0 ( ) 2 ( ) n n F ω π δ c ω ω +∞ =− ∞ = ∑ − ，其 中 c n 为 f ( t )的傅氏级 数展式中的系数。 证 设 Tπ ω 2 0 = ,则周 期 为 T 的非正弦函数 f ( t ) 的傅氏级数的复指数形式为: ( ) 0 i n t n f t c e ω +∞ −∞ = ∑ F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i t f t f t e d t ( 0 ) 0 in t i t i n t n n c e e dt c e d t ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ +∞ − − − −∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∑ ∑ ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ n n 2 2 ( ) 0 0 ( ) n c n c n ω ω πδ ω ω π δ ω ω + + ∞ − = − ∞ = − ∑ ∑ = − 14．求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 O t f t( ) 2τ 2τ − A