再由 所以由(**)式得 0,其他 因此由(*)式得 d x d 2丌 sin x--sin 2x (2) oo sin x SIn x sInx dx dx sIn x 3)参见本题第4小题。 dx dx dx +oo cOS ox 1+x2 (利用留数理论计算) dt(= Re 2T iR Re2丌i 故 于是 t2 习题四 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 再由 2 sin 0 π = ∫ +∞ dx x x 得 ( ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ > − = − − < − = + ∫ + ∞ , 1 20 , 1 , 1 2 sin 1 0 ω π ωω π ω dx x x ， ( ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ <= − > = − ∫ + ∞ , 1 20 , 1 , 1 2 sin 1 0 ω π ωω π ω dx x x 所以由（**）式得 ¶ ⎩⎨⎧ − < < = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ 0 , 其他 sin π , 1 ω 1 x x 因此由（ *）式 得 1 2 2 1 1 c o s 12 x dx d x π ω π π +∞ + −∞ − − = = ∫ ∫ （ 2 ） 2 2 4 2 21 sin sin 2 sin 4 x x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ − = ∫ ∫ 2 2 sin 1 sin 2 x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 1 s i n 1 1 2 2 2 x dx x π +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ = = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ¶ 2 sin x d x ω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫− = = 1 1 2 4 2 1 π π ω π d （ 3）参见本题第 4 小题 。 （ 4 ） ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ + − = + + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 1 1 1 1 dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ = − + + ∫ ∫ 2 1 arctan | 1 2 dt x x π π2 π +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ − = + ⎝ ⎠ ∫ ( ) 2 2 1 12 1 dx x π +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ¶ 2 2 1 1 d x ω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ¶ i 2 2 1 1 c o s 1 1 1 x 2x e dx d x x x +∞ − ω +∞ ω −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + + ∫ ∫ x （利用留数理论计算） ⎪⎭⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + = ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ + ∫ + ∞ − ∞ , i 1 Re 2 iRes 1 Re 2 i | | 2 i | | z e dt t e ω t ω z π { } ( ) | | | | | | Re i 1 i Re 2 i ω ω ω π π π π − − − = + = ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ + e e e 故 ( ) ∫ ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ +∞ − − = = + 0 2 2 | | 2 2 2 21 1 1 π ω π ω π ω ω dt e d e d t 2 2 | 0 2 π π ω = − = − +∞ e 于是 ( ) 1 2 2 2 2 2 π π = π − = + ∫ +∞−∞ dt tt 。 习题四