1、证明下列各式 (1)f()*f2()=f2(1)*f(t) (2)f()+[1()*()=[()*2()*() (3)aLf()*2()=[a()]*2(t)=()*[f2()(a为常数) (4)e"L;()+f2()=f()/()(a为常数) (5)L()+f2(t)]*81(t)+82()=f(t)*81()+f2(1)*g1(t)+f()*82()+f2()*82(t) 0(),0=(a) 证(1)()*A()厂(C)(-)t=厂(-n)(m=0)() (2)记g(x)=f2()*f3() U()*()()=(x-=M(-odt ()□A(x-5(-)14-(5)g(-5 =f(1)*g()=f1(1)*[()*( (3)a()+(0)-J()(-h=“u()(-nr=厂(n0-r)r =[af()*2(O)=()*2(t) (4) [ef(o)-[ef()=ef(e-(-ntr e ",(tf()dr=e [f(*2(] (5)()+)-g(0)+g:()=Cm()+(功)(-)+g1(-)dr f()g(-)dr+二f(),g:(-)dr+m(r)(-)dr+m()g:(-)dr f()*g1()+()*g()+f()*82(t)+f1(t)*82(); 00)()(2(-01=01 d f()*1( d [A()*()2=()-1(0 d f()+A() 因此有[1(0)的(①m=1( 3.若()= 0,t<0 sint. o<t< e-,t≥0 与f2( 2求f()*( 0,其他; 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 1、证明下列各式： （1） f1 2 ( )t f ∗ ( )t = f2 ( )t f ∗ 1 (t ) ； （ 2 ） f1 2 ( )t ∗ ∗ [ ] f ( )t f3 (t) = ∗ [ f1 (t f ) 2 ( t ) ] ∗ f3 ( t ) ； （ 3 ）a f [ ] 1 2 ( )t ∗ = f ( )t [ af1 ( )t ] ∗ f2 ( )t = f1 ( t ) ∗ [ af2 ( t ) ] （ a 为常数）; （ 4 ） e [ ] f ( )t f ( )t [ ] e f ( )t [e f (t ) ] t t t 1 2 1 2 α α α ∗ = ∗ （ a 为常数）; （ 5 ）[ ] f1 2 ( )t f + ( )t ∗ [ g 1 ( )t + g 2 ( )t ] = f1 ( t )∗ + g1 (t f ) 2 ( t )∗ + g1 (t f ) 1 ( t) ( ∗ g2 t f ) + 2 ( t ) ∗ g 2 ( t ) ； （ 6 ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 2 1 d df t df t f t f t f t f t dt dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∗ = ⎜ ⎟∗ = ∗⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ . 证 （ 1 ） 1 2 ( ) ( ) 1 2 f t f t f ( ) τ f ( t τ τ )d +∞ −∞ ∗ = − ∫ f1 2 ( ) t u f ( u ) du f2 ( )t f1 ( t ) +∞ −∞ = − = ∗ ∫ ； （ 2）记 g x( ) = f2 ( t ) * f3 ( t ) ， 1 2 ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 [ ] f t f t f t f (ζ ) f (τ ζ ζ )d f ( t τ τ )d +∞ +∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ ∗ ∗ = − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 2 3 1 f ( ) ζ f f (τ ζ ) ( t τ τ )d dζ ζ f ( ) g ( t ζ ) dζ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ = − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − 1 1 ( )* ( ) ( ) [ 2 ( ) ( ) ] 3 = = f t g t f t ∗ f t ∗ f t ； （ 3 ） 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 a f [ t f t ] a f (τ ) f ( ) t τ τd [af (τ )] f ( ) t τ dτ f (τ )[af ( t τ ) ] dτ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ ∗ = − = − = − ∫ ∫ ∫ = ∗ [ ] af1 2 ( )t f ( )t = f1 ( t ) ∗ [ af2 ( t ) ] ； （ 4 ） ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) t t t e f t e f t e f e f t d α α ατ α τ τ τ τ +∞ − −∞ ⎡ ⎤ ∗ = ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) t t e f f t d e f t f t α α τ τ τ +∞ −∞ = − = ⎡ ∗ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ ； （ 5 ）[ ] f1 2 ( )t f ( )t [ g 1 ( )t g 2 ( )t ] [ f1 ( τ ) f2 (τ τ )] [g1 (t ) g 2 ( t τ ) ] d +∞ −∞ + ∗ + = + ⋅ − + − ∫ τ f1 1 ( ) τ g ( t τ τ ) d f1 ( ) τ g 2 ( t τ ) d f τ 2 ( ) τ g 1 ( t τ τ ) d f2 ( ) τ g 2 ( t τ ) dτ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ − ∞ = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ∫ ∫∫∫ = ∗ f1 1 (t g ) ( )t + f2 ( )t g ∗ 1 ( t) ( + f1 t g )∗ 2 ( t ) + f2 ( t ) ∗ g 2 ( t ) ； （ 6 ） 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) d d f t f t f f t d dt dt τ τ τ +∞ −∞ ⎡ ⎤ ∗ = − ⎣ ⎦ ∫ 1 2 ( ) ( ) d f f t d dt τ τ τ +∞ −∞ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 1 2 ( ) ( ) d f t f t dt ⎡ ⎤ = ∗ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) d d d f t f t f t f t f t f t dt dt dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∗ = ⎡ ⎤ ∗ = ∗ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ( ) ( ) d f t f t dt ⎡ ⎤ = ∗ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 因此有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 2 1 d df t df t f t f t f t f t dt dt dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∗ = ⎢ ⎥ ∗ = ∗ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 。 3 ． 若 1 ( ) 0, 0 , 0 t t f t e t − ⎧ < = ⎨⎩ ≥ 与 2 ( ) sin , 0 , 2 0, t t f t ⎧ π ⎪ ≤ ≤ = ⎨⎪⎩ 其他; 求 f1 (t f ) ∗ 2 ( t )