同理a>0时,f(a)=fan)-d=Jf(an“dan)=-(nl°ah 综上,乳f(a=F 4.若F(o)=[/(,证明(象函数的位移性质) s[F(o干a)=e*f(t),即F(O干a)=ef(l)。 iEs[e*o/()]=e f((e o"dt=/(e eio"dt=F(@%) 5.若F(o)=S[(,证明(象函数的微分性质):F(a)=[-jf() 证 do F(o)=a厂r()-h」 f()do d=-jf(e ie dt=5l-jyf(o1 6.若F(a)=[f(,证明(翻转性质) r(o)=()0 证F(-o)=Cf(0)eoh=f(-n)en()Cf(n)ed=[(-门) 7.若F(a)=[f(,证明:S[f() cost=[F(a-m)+F(o+ f(1)sna4、1 [F(o-a)-F(o+) !cos@ [F(a-)+F(O+0) slf(osin @t 广 jo' -jetc [F(O-00)-F(+0 8.利用能量积分b=n11F(odo,求下列积分的值 ∞(1+x2)2 解1r+1-cosx d=2[2d sIn x = sin x ox 1+okx+ 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 同理 a > 0 时， ¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f a t f at e d t f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = − = − ∫ ∫ ∫ ； 综上， ¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 4．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的位移性质） ： ¶ [ ] ( ) 0 1 j 0 ( ) t F e f ω ω ω − ± ∓ = 0 t ，即 F( ) ¶ ( ) 0 j [ ] t e f t ± ω ω ∓ ω = 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j j j( ) 0 [ ] ( t t t t e f t e f t e dt f t e dt F ω ω ω ω ω ω ω ) +∞ +∞ ± ± − − −∞ −∞ = = = ∫ ∫ ∓ ∓ 。 5．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的微分性质） ： ( ) d F d ω ω = ¶[ j − tf ( t ) ] 。 证 ( ) d F d ω ω = ( ) ( ) ( ) j j j t j d d t t f t e dt f t e dt tf t e dt d d ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ − tf ( )t ] − ω ＝ ¶[ j 。 6．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（翻转性质） F ( − ω ) = ¶[ ] f (−t) 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i t t F f t e d t f t e d t ω ω ω +∞ +∞ − − − − − −∞ − ∞ − = = − − ∫ ∫ = ( ) i t f t e d t ω +∞ − −∞ − = ∫ ¶ ⎡ ⎤ f (−t) ⎣ ⎦ 。 7．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明： ¶ 0 0 1 [ ( ) cos ] [ ( ) ( ) ] 2 f t ω t = − F ω ω + F ω + ω0 ， ¶ 0 0 1 [ ( )sin ] [ ( ) ( ) ] 2j f t ω t = − F ω ω − F ω +ω0 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j ( ) 0 1 [ ( ) cos ] 2 2 t t e e t t t f t t f t e d t f t e d t f t e d ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ + t ⎡ ⎤ = = + ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( ) ] 2 = − F ω ω ω + F + ω ； ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j ( ) 0 1 [ ( )sin ] 2j 2j t t e e t t t f t t f t e d t f t e d t f t e d t ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ − ∞ −∞ − ⎡ ⎤ = = − ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( ) ] 2j = − F ω ω ω − F +ω 。 8．利用能量积分 2 1 [ ( )] | ( ) | 2 2 f t dt F ω d ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ，求下列积分的值： （ 1 ） 2 1 c o s x dx x +∞ −∞ − ∫ ； （ 2 ） 42 sin x dx x +∞ ∫−∞ ； （ 3 ） 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ； （ 4 ） ( ) 2 2 2 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 解 （ 1 ） 2 1 c o s x dx x +∞ −∞ − ∫ =2 2 2 2 sin si n 2x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ − ∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ +∞−∞ = 2 π1 ¶ dω x x 2 sin ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ （ * ） ¶ dx x x x e dx x x x x x ∫ ∫ +∞−∞ +∞ − = = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ 0 i sin cos 2 sin sin ω ω ( ) ( ) dx x x x ∫ +∞ + + − = 0 sin 1 ω sin 1 ω （** ）