h. 16.求高斯(Gms)分布函数0)=moeo的频谱函数 解教科书中P10,例2已解得钟形脉冲函数AeBr的傅氏变换为A B a4B,本题中A 所以 r()=[(O)]= t 习题三 若F()=[(O)]F(o)=s[()],a,是常数,证明(线性性质 s[af(+B(0]=aF(o)+BF(o) s[aF()+BF(o)]=a()+B2() 证[a()+B()f[a()+B(O)e-b=a∫()-+p」()e- aFlo+BE(o) 2.若F(,证明(对称性质x(o)=厂F(F)c-md,即F(1)=2x7(o) 证因f()=1["F(o)e"do,令x=-1,f(-1)=「F(o)ldo 令t=O,则f(-0)= F(e di F(),即[F()]=2nf(-o) (*)式中令一1=0,则f(a)=厂 F(-n)ed-Ds、1 ∫"F(-1)-d=12sFo),即 [F(-1)]=2rf(o) 3若2(0,a为非零常数.,证明(相似性质)5(m-=1{ 证设a>0,有5(a)-al-h=厂rae="1(a)=1olw=Fg 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ h A O ω 2 ω 3 ω 4 ω ω 16．求高斯 （Gau s s）分布函数 2 2 2 1 ( ) 2 t f t e σ πσ − = 的频谱函数 解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数 的傅氏变换为 2t Ae−β 2 / 4 A e π ω β β − ，本题中 12 A π σ = ， 2 2 1σ β = ，所以 F (ω ) = ¶ ( ) 2 2 2 2 2 i 2 12 t t f t e e dt e σ ω σ ω πσ +∞ − − − −∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ 习题三 1．若 1 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f1 ( )t ⎣ ⎦ ， 2 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f2 (t) ⎣ ⎦ ， α , β 是常数，证明（线性性质） ： ¶ 1 2 ( ) ( ) 1 2 ⎡ ⎤ α f t + = β α f t F ( ) ω + β F ( ) ⎣ ⎦ ω ， ¶ [ ] ( ) ( ) 1 1 2 1 2 α ω F F ( ) β ( ) ω α f t β f − + = + t 。 i t 证 ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 2 1 2 1 2 t t f t f t f t f t e d t f t e d t f t e ω ω α β α β α β +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ + = ⎡ ⎤ + = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎣ ⎦ ∫ d t − ω 1 2 = + αF F ( ) ω β ( ω) 2．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（对称性质） ： 1 j ( ) ( ) 2 t f F t e dt ω ω π +∞ − −∞ ± = ∫ ∓ ，即 ¶[ ( F t ∓ ) ] = 2 π f ( ± ω) 。 证 因 1 i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω d ω π +∞ −∞ = ∫ ，令 x = − t ， 1 -i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω d ω π +∞ −∞ − = ∫ （ * ） 令 t = ω ，则 1 1 -i ( ) ( ) 2 2 t f F t e dt ω ω π π +∞ −∞ − = = ∫ ¶[ ( F t ) ]，即 ¶[ ( F t ) ] = 2 π f ( － ω) ； （ *）式中 令 － t = ω ，则 1 1 -i -i ( ) ( ) ( ) 2 2 t t f F t e d t F t e d ω ω ω 12 t π π π +∞ +∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ － （－ ） － ＝ ¶ ，即 ¶[ ( [ ( F t ) ] F t － ) ] = 2 π f ( ω) 。 3．若 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ， a 为非零常数，证明（相似性质） ¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 证 设 a > 0 ，有 ¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f a t f at e d t f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = = ∫ ∫ ∫ ；