应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同.但是，对实方阵A,当合同因子是正交矩阵 Q时，由于Q'=Q,这时，合同变换Q'AQ与相似变换QAQ完全一致 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x=Py,使已知n元二次型x'Ax化为标准形 by+b2y+…+bny月 容易理解，上述问题与寻求合同因子P使二次型矩阵4经合同变 换P'AP化为对角矩阵 B 的问题是一致的. 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩， 于是，上面的b,b2,…,bn中非零数的个数r恰是二次型的秩.7 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x = Py ,使已知 n 元二次型 xAx 化为标准形 2 2 2 2 2 1 1 n n b y +b y ++b y 容易理解，上述问题与寻求合同因子 使二次型矩阵 经合同变 换 化为对角矩阵 的问题是一致的． P A PAP             = n b b b  2 1 B 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩． 于是，上面的 b1 ,b2 ,  ,bn 中非零数的个数 r 恰是二次型的秩． 应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同. 但是，对实方阵A，当合同因子是正交矩阵 Q时，由于 这时,合同变换 与相似变换 完全一致. 1 Q Q , −  = Q AQ 1 Q AQ −