。[qJ=[p 说明:;ii、v表示其某些和乘法类似的性质,但不满足交换律[参见(i)],也不满足结 合律[参见(iⅳ)] 又:ⅶ、ⅶi表述了某些与量子力学有重要联系的性质 3.利用 Poisson括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 (1)设一个力学体系的哈密顿量为H(Pq),则任意光滑函数p(Pq,)的全导数可以利用 Poisson 括号表示为:“(4=0+[H (2) ①若=0,即=9(p.q),则4=[H,o] dh aH ②若q=H,则 d'点%参OH s0aH_0H=h,能量守恒或广义能 量守恒。 ③取p=P,9就得到=Pn=[H,P,m=9=[ 这就是用 Poisson括号表示的正则方程 (2)定理:p(P,q,)=C成为正则方程积分的充要条件为:+[H1,]=0 证明:如果(P,q)=C是正则方程的积分,则有=0利用(2)即得。 如果以(q)满足偏微分方程(4)0+[H,=0 H OHc=0则与之对应的常微分方程组,可表为 dt dq da dp q IaH aH H aH ap 这正是正则方程。由引理(见下面)可知(Pq,)=C是正则方程的积分, 引理:连续可微函数F=F(x,x,x2…x)为偏微分方程 aF X X=0 (5) (X=X(xnx…xn),=0,…m有连续导数,且X不同时为零)的一个解的充要条 件为:F(x0,x…x)=C为常微分方程组2 ⅷ。 , , q p    p q           = = −   说明：iii、vi 表示其某些和乘法类似的性质，但不满足交换律[参见（i）]，也不满足结 合律[参见（iv）]。 又：vii、viii 表述了某些与量子力学有重要联系的性质。 3．利用 Poisson 括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 （1）设一个力学体系的哈密顿量为 H p q t ( , , ) ，则任意光滑函数  ( p q t , , ) 的全导数可以利用 Poisson 括号表示为： ( )   , , , d p q t H dt t     = +  （2） ①若 = 0   t  ，即  = ( p q, ) ，则  ,  d H dt  =  ②若  = H ，则 t H dt dH   = ，这意味着 H h dt dH t H =  = =   0 0 ，能量守恒或广义能 量守恒。 ③取 p q ,  =   就得到  , , ,    dp dq p H p q H q dt dt   = = = =     （3） 这就是用 Poisson 括号表示的正则方程。 （2）定理：  ( p q t C , , ) = 成为正则方程积分的充要条件为： H, 0  t    + =  （4） 证明：如果  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分，则有 = 0 dt d 利用（2）即得。 如果  ( p q t , , ) 满足偏微分方程（4） H, 0  t    + =  ，即 1 0 1 1 =             + −             +      = = n i i i n i i i q p H p q H t    则与之对应的常微分方程组，可表为           − = =           − =           = =           = n n n n q H dp q H dp p H dq p H dt dq   1 1 1 1 1 这正是正则方程。由引理（见下面）可知  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分， 引理：连续可微函数 F F x x x x = ( 0 1 2 , , , n ) 为偏微分方程 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X （5） （ X X x x x i n i i n = = ( 0 1 , , 0,1, , ) 有连续导数，且 Xi 不同时为零）的一个解的充要条 件为： F(x0 , x1 xn ) = C 为常微分方程组