d x. dx d x 的一个积分 证 对于任意连续可微函数F(x…,x)可计算.+2,而对于等 式F(xnx1…,x)=C,台d=+∑d=0 如果F=F(xnx1…,x)满足(5),而方程组(6)等价于 X=dxo X=ndx. i=1.2.n 6) 代入(5)得4(0+①d=0,即可+么=0,则 F(x0,x1…,xn)=C是(6)的积分。反之,如果F(x0,x1…,x)=C是(6)的积分, 那么一dx+ d,=0必满足(6).把(6)代入,得X0谷 X aF aF 即x+∑X=0,则F=F(xx,…x)是偏微分方程(5)的一个解。 关于引理,我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组(6)即 X,-Odx,=0 X,dxo-Xodx2=0 X, dxo-xodx 由F(n,x…x)=C得a+=0,F=C要成为常微分方程组(6)的积 分,应与(6)协调,即上述n+个方程组成的线性齐次方程组,应有非零解( dx. dx1…dxn), 其充要条件为行列式3 n n X dx X dx X dx X dx = = =  2 2 1 1 0 0 （6） 的一个积分。 证明： 对于任意连续可微函数 ( ) n F x , x , , x 0 1  ，可计算 =   +   = n i i i dx x F dx x F dF 1 0 0 ，而对于等 式 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C ， 0 1 0 0 =   +   = = n i i i dx x F dx x F dF （0） 如果 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  满足（5），而方程组（6）等价于 X0 = dx0 Xi = dxi i = 1,2n （6 ） 代入（ 5 ） 得 0 1 0 0 =          +   = n i i i dx x F dx x F  ， 即 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ， 则 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分。反之，如果 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分， 那么 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F 必满足（6）。把（6 ）代入，得 0 1 0 1 0 =          +   = n i i i x F X x F X  ， 即 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X ，则 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  是偏微分方程（5）的一个解。 关于引理，我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组（6）即 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 − = − = − = Xn dx X dxn X dx X dx X dx X dx  由 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 得 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ，F=C 要成为常微分方程组（6）的积 分，应与（6）协调，即上述 n+1 个方程组成的线性齐次方程组，应有非零解 ( ) dx0 dx1 dxn , ， 其充要条件为行列式