李君，等：复合材料固化过程中温度及应变场分布的解析解 127 1理论模型 于板的中心截面上，因此 因为层合板结构件的长度和宽度远大于其厚 基于以上的瞬态热传导方程，将解分解成渐近 度，因而平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对 (特解)和瞬态解，即 平板内的温度分布复形响很小，所以把问题简化为一 维问题 T=T.+T.. (5) 其中工代表渐近解，T代表瞬态解 设层合板固化过程中温度边界条件为经典的固 1)渐近解 化温度曲线，如图1所示 渐近解假设为下面的表达式： 500 T=A(1+B( (6) 其中A(a)B(为空间坐标系a的函数 将渐近解式(6)代入一维瞬态热传导方程(1)及 兰 350 边界条件得渐近解T,为 300 2506 4 (7) 图1复合材料固化过程边界温度曲线 其中， 11温度场分布的理论模型 R= (0-rL2 0=05+ (8) 11.1升（降）温阶段的理论模型 Bi为ot数，即量纲为一的板的厚度 层合板结构件厚度方向的一维热传导方程及边 B=长 (9) 界条件如下： H= 2)解态解 由于解T=T+T,其中T满足所有的方程和 H=-装(T-),a=+1>&(② 边界条件，因此将T,代入方程(1厂(3)得 =+长(T-,a->G II ,1>0,|4<上(10) Te=To+rt. (4) a=+1,1>0 (11) 其中：为固化过程中单位时间内单位体积的树脂 放热量，由差示扫描量热(DsC)获得，Q=Q,d a=-1,1>0 (12) 为复合材料的密度；为复合材料的比热容；r为 对于式(10一(12运用分离变量法得 升（降）温速率：K为层合板厚度方向等效导热系 Ecos(a)p(-Fo) (13) 数；L为层合板厚度：T为热扩散系数，无 其中：入为方程 为层合板厚度方向量纲为1的坐标，层合板结构示 tand)=,i=1,2,3,4 (14) 意图如图2所示，边界条件为对流边界条件x轴置 的特征值，可通过图解法求得：Fo为Fourier数，即 量纲为一的时间， =是 (15) 为了求解E,运用初始条件，由式(5)及(7得 70=T-lo=--}+ h (16) 1994.层合板不维热传导结构示意图cctronic Publishing 又由式(3)得s reserved.. http://www.cnki.net 1 理论模型 因为层合板结构件的长度和宽度远大于其厚 度 ,因而平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对 平板内的温度分布影响很小 ,所以把问题简化为一 维问题。 设层合板固化过程中温度边界条件为经典的固 化温度曲线 ,如图 1所示。 图 1 复合材料固化过程边界温度曲线 1. 1 温度场分布的理论模型 1. 1. 1 升 (降 )温阶段的理论模型 层合板结构件厚度方向的一维热传导方程及边 界条件如下: LT Lt = T L 2 L 2 T La 2 + Q , t > 0,|a| < 1; ( 1) LT La= - hL K ( T - T∞ ) , a= + 1,t > 0; ( 2) LT La = + hL K ( T - T∞ ) , a= - 1,t > 0; ( 3) T∞ = T0 + rt. ( 4) 图 2 层合板一维热传导结构示意图 其中: Q · 为固化过程中单位时间内单位体积的树脂 放热量 ,由差示扫描量热 ( DSC)获得 , Q · = 1 dcp Q, d 为复合材料的密度 ; cp 为复合材料的比热容; r 为 升 (降 )温速率; K 为层合板厚度方向等效导热系 数; L 为层合板厚度; T为热扩散系数 , T= K dCp ; a 为层合板厚度方向量纲为 1的坐标 ,层合板结构示 意图如图 2所示 ,边界条件为对流边界条件。 x 轴置 于板的中心截面上 ,因此a= x L 。 基于以上的瞬态热传导方程 ,将解分解成渐近 (特解 )和瞬态解 ,即 T = Ts + Tr . ( 5) 其中 Ts代表渐近解 , Tr 代表瞬态解。 1) 渐近解。 渐近解 [6 ]假设为下面的表达式: Ts = A (a) t+ B (a) , ( 6) 其中 A (a) /B (a)为空间坐标系a的函数。 将渐近解式 ( 6)代入一维瞬态热传导方程 ( 1)及 边界条件得渐近解 Ts为 Ts = T0 + rt + R - 1 2 a 2 + Θ = T∞ + R - 1 2 a 2 + Θ . ( 7) 其中 , R = (Q - r) L 2 T , Θ= 0. 5+ 1 Bi . ( 8) Bi 为 Bio t数 ,即量纲为一的板的厚度 , Bi = h L K . ( 9) 2) 瞬态解。 由于解 T= Ts+ Tr , 其中 Ts满足所有的方程和 边界条件 ,因此将 Tr 代入方程 ( 1)— ( 3)得: LTr Lt = T L 2 L 2 Tr La 2 , t > 0,|a|< 1; ( 10) LTr La = - Bi Tr , a= + 1,t > 0; ( 11) LTr La = + Bi Tr , a= - 1,t > 0. ( 12) 对于式 ( 10)— ( 12)运用分离变量法得 Tr = ∑ ∞ i= 1 Ei cos(λia) ex p( - λ 2 i Fo) . ( 13) 其中: λi 为方程 tan(λi ) = Bi λi , i = 1, 2, 3, 4,… ( 14) 的特征值 ,可通过图解法求得 ; Fo 为 Fourier数 ,即 量纲为一的时间 , Fo = Tt L 2 . ( 15) 为了求解 Ei , 运用初始条件 ,由式 ( 5)及 ( 7)得 Tr|t= 0 = T0 - Ts|t= 0 = - R - 1 2 a 2 + Θ . ( 16) 又由式 ( 13)得 李 君 , 等: 复合材料固化过程中温度及应变场分布的解析解 127