力学季刊 第34卷 法(包括基于同态映照的推前及拉回,Le导数, Hodge星算子,内导数,外微分以及相关运算之间的关系) 对此部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流形 上的分析,且数学分析上非常清晰。⑥张量分析在连续介质(几何形态默认为 Euclid流形)中的基本应 用,包括变形刻画,输运方程;另涉及同态扩张以及Le导数等在连续介质力学中的应用,但书著中未对这 部分内容做深入阐述 郭仲衡所著《非线性弹性理论》,主要内容包括:①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 Euclid流 形)。理论框架上分别对初始物理构形以及当前物理构形引人曲线坐标系,理论发展上按变形梯度及其基 本性质,变形刻画,输运方程,守恒律方程等。②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学若干典型事例 的半解析求解。③变分原理。值得指出,基于《张量(理论和应用)》所载张量分析的知识体系,研习《非线 性弹性理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析上的困难 本文作者自上世纪90年代初作为大学生就被郭仲衡先生的书著所吸引并持续研习至今。本文主要 基于有限维 Euclid空间上微分学以及一般赋范线性空间上微分学认识和推广相关知识,主要包括:(1) 有限维 Euclid空间中的微分同胚。(2)张量场微分学。(3)张量值映照微分学。(4)张量场多点表示形 式。(5)非完整基理论。(6)基于外积运算的相关理论 1有限维Eucd空间中的微分同胚 1.1空间曲线坐标系(空间微分同胚) 有限维 Euclid空间中的C"微分同胚,指向量值映照 ):R"→D3X(x)∈R 此处定义域D和值域Dx:=X(D2)均为R"中的开集,X(x)实现了二者之间的双射(一一对应),且X (x)与其逆映照x(X)均为CP映照;一般可记C°微分同胚为X(x)∈CP(D4,Dx)。 g3(r) curvilinear coordiante g3(x) X()ECP(D D) g2(x) g1(3 g2( (g;(x) ocal covariant bas D()=[. 图1三维 Euclid空间中曲线坐标系示意图 Fig. 1 Sketch of curvilinear coordinates in three dimensional Euclid space 如图1所示,基于微分同胚:①物理空间Dx中点的位置刻画可等价地由参数区域D中的位置进行 刻画;一般构造微分同胚时使得D的几何形态规则。②由微分同胚X(x)∈CP(D-,Dx)的 Jacobi矩阵 可定义局部协变基{g,(x)△aX/ax2(x)}1,按对偶关系可唯一确定其对偶基{g(x)|(g2,g;)=b 1,…,m}=1;称为逆变基,协变基和逆变基统称为局部基;可基于局部基展开整体形式的张量方程以 获得可实际求解的分量方程。微分同胚的上述性质实现了一般曲线坐标系的意义及功能。郭仲衡著《张 量(理论和应用)》明确将曲线坐标系定义为微分冋胚,凸显其数学严谨且几何意义清晰B!ÎÏ67ÊÙ˲<QЍç¢"2A>NI"(8LB>ï•4"ÞNI"üûsdS}ϕ~{<}À$# íbAsÞî<Q?ð£_9:ûsæ[<;<"5D?<S}E.WBcd•÷xòº*[7æ[ á<sV"ˆI'sVá×ù±\%=}çsVo+a­j!•5[Ù]ýv +<I9ALæ[$q<6iT 5"ÎÏÍ[•k"€ÏW0#¨ŒÊÙ4}d2A>NI{o+a­j&'q<T5"5Ϻq_í„ AsÞîeô:%?% »gGDº:×#`ç`,1;"ïðÞîÎÏ&8’¬Í[,1!+a­j•5[Ù]ýv +<I9ALæ [$%,1€ás3í\]Ü,Y[d„ÐÜ,Y[9:Å#xLÀ",1äá9Í[߈Ú6 i`j"Í[•k"€ÏW0"`‘ZW0{%9’¬Í[ç`f&''’¬Í[ç`9&'s[’ƒ¥ <4EVDE%:Ís®,%;F‰"67:}ç!,1"T5$;DÕ}çsV<^þÝÀ"©^:×# `ç`,1;0<FWv¢£=I'd&'sVá<01% i$u«¢áyzQ$$Œ\uv*'¸0q»gGJ¸<ϺDø9Rpa©^ g%i$ïð 67’¬K +<I9AL3{áûs'd…Qô6#`3{áûs'(!) ýþ"QGS}^þ"ïðÎÏ&!%$ ’¬K +<I9AL3{q<ûsÊ_%!#$}çåûs'%!!$}ç;˲ûs'%!"$}çåy¦Š‹[ x%!N$×xŠ6,1%!&$67üÏ•<S},1% A ¼òDU</-#4î37*Y9ñs A:A î3û|Í>Á"î3Y9ñs# ’¬K +<I9AL3{q< L> ûsÊ_"‰ç;˲ S!9$&HF IT9J924S!9$0HF b†àk| T9 ";|TS&<S!T9$ÖvHF q<^&"S!9$g<RJ«~{<ÙN!……íT$"ˆ S !9$SÚU˲9!S$Öv L> ˲#…QcU L> ûsÊ_vS!9$0L> !T9"TS$(")% 8! ¿D J-69"'î37û|Í>Áqr8 !"#$! 45(*67&86-+:"9".(3+6&&+'".3*()".*7+(('"0(.)"&.39J-69"')236( Z%D‹"67ûsÊ_&@Ü,3{ TS q¦<w’•kc{ѺXHI|T9 q<w’‚ƒ •k#…QYZûsÊ_zQF T9 <•5[Ùú}%AXûsÊ_ S!9$0L> !T9"TS$<;GI8XA‰Š càk@AvÍ6,(3!9$K"S/"93!9$-F 3<%"9íx}Àc`…àÚíx6,(2 !9$2!(2 "(3$GF <32 3" 3<%"*"F-F 2<%"rvUÍ6"vÍ6"UÍ6Arv@A6#c67@A6^ŠÝ[x<}çW0d äFcgKDE<sçW0%ûsÊ_<á?`jg<R…QÅ#xLÀ<nkÞ\%»gGº:} ç!,1"T5$;;üÅ#xLÀàkvûsÊ_"a<ÚI'®bˆ•5nk±\% 774 & ' ( ) !!""