第2期 谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 R(,9) X 图2当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间情形的一则示意图 Fig. 2 A sketch of curvilinear coordinates with respect to current physical configurations including time explicitly 1.2时空曲线坐标系(时空微分同胚) 如图2所示,当类马铃薯体(当前物理构型)随时间发生变化时,我们希望能建立显含时间的曲线坐标 系,使得对应的参数区域不仅几何形态规则并且不随时间发生变化。对此,可考虑如下当前物理构型对应 之显含时间的曲线坐标系 g,t)·rsin0·cos X(x, t) X(a. t) X2|(x,t) R(0,g,t)· rsing·sing D×(a,b)3 R(0,,t)·rcos 在时空坐标系(世界坐标系)中当前物理构形对应之显含时间的曲线坐标系可严格符合微分同胚的要求。 以上述映照为例,建立时空微分同胚的充分必要性条件为:①X(x,t)∈CP(Dm×R;R3),亦即X(x,t) 关于时空变量{x,t}都具有直至p阶偏导数且均在Dm×R上连续;②X(x,t)关于空间变量x在Dw上 为单射;③X(,t)关于空间变量x的 Jacob矩阵D2X(x,t)∈R在Dm×R上都非奇异。应用上可 基于上述条件,确定一个CP映照为C微分同胚。 如果我们可对当前物理构型引入显含时间的曲线坐标系X(x,t)∈C"(v,V)(现t视为参数),使 得对应的当前参数构型几何形态规则(如为方体)且不随时间变化,则连续介质运动在物理世界坐标系(时 空坐标系)中的区域V×(t,to+T)和参数世界坐标系中区域V,X(to,to+T)之间有微分同胚x(x t)∈CP(V×(to,to+T),V×(t,to+T))(现t视为独立变量),如图3所示。我们已基于一般有限 变形理论[,平行发展了当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论。籍此理论,我们可 系统获得连续介质运动在参数世界坐标系下的分量方程,在参数世界坐标系下连续介质的参数构型演化 对应一个规则的方体,现情形下物理构型的几何非规则且随时间变化的边界被严格映射为几何规则且不 随时间变化的平面或者直线,这将十分有利于数值及理论分析 1.3基于曲面构建全空间半正交系 如图4所示,为研究边界及其邻域上的流动机制,往往可基于曲面构建全空间维数曲线坐标系,如下所示 X(x,t)=X(x,123 :/→X(xx, X n(xy,t)∈R X8" :‹-xÂbÒþtû|Í>ÁTÓ3…t*š×qr8 !"#$" I)5(*67&86-+:"9".(3+6&&+'".3*()<"*7+()2(6**&6-++(.* 27=)"6396&.8"#-+3*"&.)".69-'".#*"0((M29"6"*9=$ AIB îû|Í>Á"îY9ñs# Z#D‹"„îacdÝ!„ÐÜ,Yƒ$ãz{ä¸ÍÅz"€2e\¹¿</z{<Å#xL À"QFíT<HI|-‡•5[Ùú}Rˆ-ãz{ä¸ÍÅ%íb"cXYZ[„ÐÜ,YƒíT ~</z{<Å#xLÀ S!9";$ ( ; )&TA%!E!+"7$J( )9 ; < &A ' ( ) % ! & ' ( ; ) 4 S!9";$ ( ; )L S% S# S & ' ( ) ! !9";$ & ' ( ; ) K G!%"!";$0AKA=%0I8K! G!%"!";$0AKA=%0KA=! G!%"!";$0AI8K & ' ( % ) & ' ( ; ) oz3xLÀ!ylxLÀ$q„ÐÜ,Y[íT~</z{<Å#xLÀc®?K¨ûsÊ_<ðD% dá?˲v"¹¿z3ûsÊ_<Òszð`mnv&@S!9";$0L> !TA%!EH#H!$"G S!9";$ }7z3Íç,9";-œE’e > [úNIˆÖoTA%!EHá+a#AS!9";$}73{Íç9 oTA%!á vvN#BS!9";$}73{Íç9 <;GI8XA‰Š T9S!9";$0H!^!o TA%! EHáœ×âã%T5ác 67á?mn"à…l L> ˲vL> ûsÊ_% Zـcí„ÐÜ,Yƒ9:</z{<Å#xLÀ S!9";$0L> !J ; 9"J ; $!<; ÿvHI$"Q FíT<„ÐHIYƒ•5[Ùú}!ZvWÝ$ˆ-ãz{ÍÅ"}+a­jÏ9oÜ,ylxLÀ!z 3xLÀ$q<|J ; E!;$";$=8$"HIylxLÀq|J ; 9 E!;$";$=8$~{’ûsÊ_ S!9" ;$0L> !J ; 9E!;$";$=8$"J ; E!;$";$=8$$!<;ÿv‡¿Íç$"Z!D‹%€ý67…Q’¬ Í[,1(#)"ûƒäR„ÐÜ,Y[íT~Å#xLÀ</z{<’¬Í[,1(N)%fb,1"€c ÀAäF+a­jÏ9oHIylxLÀ[<sçW0"oHIylxLÀ[+a­j<HIYƒÂÅ íT…lú}<WÝ"<;[[Ü,Yƒ<•5×ú}ˆãz{ÍÅ<klq®?ËNv•5ú}ˆ- ãz{ÍÅ<ûïÓ«e#"„üxs’/7I;,1sV(N)% AID +,û­Âü½î3‹aÁ Z"D‹"v©ªklÚƒ|á<æ9ÇO"ÁÁc67ÅïY¹ò3{KIÅ#xLÀ"Z[D‹ S!9";$<S!9$ "9F ";$&T9J 9$ (9F )< 9% $ + 9FB% & ' ( $ ) 9 & ' ( ) F 4S!9$ "9F ";$ L S% + SFB% S & ' ( )F !9$K$!9$ ";$=9F 0'!9$ ";$0HF !## ÐY«&67»gGJ¸<Œ}çsV’¬Í[,1^þÝÀ<S}©ª 775