式中=<r,A>,8=<r,乃>，是两个平面（亿，P)和（亿，P)间的夹角。并问两个偶极子在怎 样的相对取向下这个力值最大？ 解电偶极子A在矢径为r的点上产生的电场为 1 3pcr E-Anto 所以P与p2之间的相互作用能为 1r四] W.=-P:E=-46 r 因为8=<rn>,8=<r,P>,则 pr=pircose p.r=parcose. 题2.13图 又因为中是两个平面（心，P)和(，）间的夹角，所以有 (r×n)rr×p2)=r'ppa sinsin8cosg 另一方面，利用矢量恒等式可得 (r×p)(r×p2)=(r×乃)xr小p2=[rB-(p)r小p2=r(pp2)-(rprp2) 令 此 (Ap,)=r×p,)U×p)+(rnr~p,月=sin8 sin+Pcos8cos4 于是得到 形=(smA如风os-2as风o4) 故两偶极子之间的相互作用力为 F=-0 01-=-2(m4m风m4-2acs4)品 (sin0 sin&cos-2cos0 cos 由上式可见，当日=8，=0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 2.14两平行无限长直线电流I和12，相距为d,求每根导线单位长度受到的安培力F 解无限长直线电流产生的磁场为B=心，2元 4o11 直线电流1，每单位长度受到的安培力为 Fmn =fLe.xB d==epg 2πd 式中e2是由电流I指向电流2的单位矢量。 同理可得，直线电流I每单位长度受到的安培力为 Em=-fa=62治 2.15一根通电流1，的无限长直导线和一个通电流12的圆环在同一平面上，圆心与导线的距 离为d,如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为1 p 2 p x y z 1  2  r 题 2.13 图 式中 1 1  =  r p, ， 2 2  =  r p, ， 是两个平面 1 ( , ) r p 和 2 ( , ) r p 间的夹角。并问两个偶极子在怎 样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子 1 p 在矢径为 r 的点上产生的电场为 1 1 1 5 3 0 1 3( ) [ ] 4  r r = − p r r p E 所以 1 p 与 p2 之间的相互作用能为 1 2 1 2 2 1 5 3 0 1 3( )( ) [ ] 4 We   r r = − = − − p r p r p p p E 因为 1 1  =  r p, ， 2 2  =  r p, ，则 1 1 1 p r = p r cos 2 2 2 p r = p r cos 又因为  是两个平面 1 ( , ) r p 和 2 ( , ) r p 间的夹角，所以有 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) sin sin cos r p r p   = r p p    另一方面，利用矢量恒等式可得 1 2 1 2 ( ) ( ) [( ) ] r p r p r p r p   =   = 2 1 1 2 [ ( ) ] r p r p r p − = 2 1 2 1 2 r ( ) ( )( ) p p r p r p − 因 此 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) [( ) ( ) ( )( )] r p p r p r p r p r p =   + = 1 2 1 2 p p sin sin cos    + 1 2 1 2 p p cos cos   于是得到 We = 1 2 3 0 4 p p   r ( 1 2 sin sin cos    − 1 2 2cos cos   ) 故两偶极子之间的相互作用力为 e r q const W F r =  = − =  1 2 0 4 p p  − ( 1 2 sin sin cos    − 1 2 2cos cos   ) 3 d 1( ) d r r = 1 2 4 0 3 4 p p  r ( 1 2 sin sin cos    − 1 2 2cos cos   ) 由上式可见，当 1 2  = = 0 时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 2.14 两平行无限长直线电流 1 I 和 2 I ，相距为 d ，求每根导线单位长度受到的安培力 F m 。 解 无限长直线电流 1 I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r    B e = 直线电流 2 I 每单位长度受到的安培力为 1 0 1 2 12 2 1 12 0 d 2 m z I I I z d   =  = −  F e B e 式中 12 e 是由电流 1 I 指向电流 2 I 的单位矢量。 同理可得，直线电流 1 I 每单位长度受到的安培力为 0 1 2 21 12 12 2 m m I I d   F F e = − = 2.15 一根通电流 1 I 的无限长直导线和一个通电流 2 I 的圆环在同一平面上，圆心与导线的距 离为 d ，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为