。1632* 北京科技大学学报 第32卷 则IG|=-1|A=一1因此G.A都是可逆矩 8+=1 阵.所以有 2d2d-1 G=(A)G d+1 (7) 9 1 如第23行的值分别是一d一d41至此，式(8)的 显然I(A)G=1从而由4，马，4构造了一个 左边矩阵中的元素的值就确定了， 三维广义Anol变换. 西 为了叙述方便用C表示维广义Amo变 1 1 1 1 1 换矩阵，G表示维基矩阵且|G=(一1)，A表 0 示维矩阵且A(马，，，号，4)=(1↓， Gn= 0 0 l0)(T为矩阵的转置运算).用C(m,A(m表 1 1 0 0 示d仁m时CA的值.例如， 0 0 -1 一1 -1 32 一1 C(1)= 2 2 An= 1 1 0 0 0 0 7 5 0 0 0 …01 -d C(3) 4 4 0 0 …0… 1 -1 1 (2)当为维时，情况比较复杂，分三步. 00…1… -1-1 (-1-4)d 第一步：求A仿照(1有： 2 (-2) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -d -1-1 (-2-5)d 0 (-3 2 0 0 0 1 一1 -d+l -1 3 00 一1 一1 则 0 1 一1 一1 一1 [y2为偶数 1 [y2为奇数 -1 -1 -1 [/2为偶数 -1[2为奇数 1 2 因此GmA都是可逆矩阵. 1 第二步：求(A).通过对三维情况的研究，可 (8) 以得到A的逆矩阵类似下面矩阵： 1 203 24 2+1 …221 -4 -+2 20 10 0 -+3 00 式中，为第行的未知数，心文卫 下面来确定的值.首先对左边矩阵的第行 0 0 .. 进行矩阵运算得到一 a+=0故 0 = 马-24-1=4d+(-3. 0 其次对左边矩阵的第行进行矩阵运算，得到 9)北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 则 G3 =-1, A3 =-1, 因此 G3, A3 都是可逆矩 阵 .所以有 C3 =(A3 ) -1G3 = a3 2d 2d-1 a2 d+1 d a1 1 1 ( 7) 显然 ( A3 ) -1 G3 =1, 从而由 a1, a2, a3 构造了一个 三维广义 Arnold变换 . 为了叙述方便, 用 Cn表示 n维广义 Arnold变 换矩阵, Gn表示 n维基矩阵且 Gn =( -1) n , An表 示 n维矩阵且 An( an, an-1, …, a2, a1 ) T =( 1, 1, …, 1, 0) T ( T为矩阵的转置运算 ).用 Cn( m), An( m)表 示 d=m时 Cn, An的值 .例如, C3 ( 1) = 3 2 1 2 2 1 1 1 1 , C3 ( 3) = 7 6 5 4 4 3 1 1 1 . ( 2)当为 n维时, 情况比较复杂, 分三步. 第一步 :求 An.仿照 ( 1)有 : 0 0 … 0 … 0 0 1 0 0 … 0 … 0 1 -d 0 0 … 0 … 1 -1 -d+1       0 0 … 1 … -1 -1 ti       0 1 … -1 … -1 -1 tn-1 1 -1 … -1 … -1 -1 tn · an an-1 an-2  ai  a2 a1 = 1 1 1  1  1 0 ( 8) 式中, ti为第 i行的未知数, 1 <i<n. 下面来确定 ti的值 .首先对左边矩阵的第 n行 进行矩阵运算, 得到 an -∑ n-1 j=2 aj+tn =0, 故 tn =∑ n j=1 aj-2an -1 = ( n-1) (n-4) d 2 +( n-3) . 其次对左边矩阵的第 i行进行矩阵运算, 得到 ai -∑ i-1 j=2 aj+ti=1, ti=∑ i j=1 aj-2ai = ( i-1) ( i-4) d 2 +( i-2), 如第 2, 3行的值分别是 -d, -d+1.至此, 式 ( 8)的 左边矩阵中的元素的值就确定了 . 令 Gn = 1 1 1 … 1 1 1 1 1 … 1 0 1 1 1 … 0 0      1 1 0 … 0 0 0 -1 -1 … -1 -1 , An = 0 0 … 0 … 0 0 1 0 0 … 0 … 0 1 -d 0 0 … 0 … 1 -1 -d+1       0 0 … 1 … -1 -1 ( i-1 ) ( i-4) d 2 +( i-2)       0 1 … -1 … -1 -1 ( n-2 ) ( n-5) d 2 +( n-3 ) 1 -1 … -1 … -1 -1 ( n-1 ) ( n-4) d 2 +( n-3 ) , 则 Gn = 1, [ n/2] 为偶数 -1, [ n/2] 为奇数 An = 1, [ n/2]为偶数 -1, [ n/2]为奇数 因此 Gn, An都是可逆矩阵. 第二步:求 (An) -1 .通过对三维情况的研究, 可 以得到 An的逆矩阵类似下面矩阵: tn 2 n-3 2 n-4 … 2 n-j-1 … 2 1 2 0 1 tn-1 2 n-4 2 n-5 … 2 n-j-2 … 2 0 1 0 tn-2 2 n-5 2 n-6 … 2 n-j-3 … 1 0 0        tn-i+1 2 n-i-2 2 n-i-3 … 1 … 0 0 0        2d-1 1 1 … 0 … 0 0 0 d 1 0 … 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 … 0 0 0 ( 9) · 1632·