D010.13374f.isn0W3x.200.12.022 第32卷第12期 北京科技大学学报 Vol 32 N9 12 2010年12月 Journal ofUniversity of Science and Techno pgy Beijing Deg 2010 一种新的维广义Amo矩阵构造方法及其在图像 置乱中的应用 李用江1)葛建华) 李昌利孙志林) 1)西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室，西安7100712)广东海洋大学信息学院，湛江524088 3)河南宇通信息技术有限公司，郑州450003 摘要提出了基于具有输入密钥的等差数列来构造一类维广义Am0阳变换矩阵的方法，并给出了构造变换矩阵和逆变 换矩阵的计算算法，算法仅与密钥有关，其时间复杂度相当于Y叶1)2次乘法运算.在图像置乱时用该矩阵作为变换矩阵， 采取图像位置空间与色彩空间的多轮乘积型双置乱，算法具有周期长和算法完全公开等特点，可有效防止多种攻击，增强了 系统的安全性.此外，通过逆变换对置乱图像进行恢复，无须计算变换矩阵的周期.实验结果表明，该置乱变换算法效率高， 安全性强。 关键词图像加密：矩阵变换：置乱：明文攻击 分类号TP391 A new construction method for n dmensional generalized Arnold matrixes and its app licaton in mage scram bling LI Yong jiang 2).GE Jian hua)LI Chang 1?.SN Zhil 1)Stae Key Laborapry of hggmted Service Networks XianUniversit XI an710071.China 2)Colkge of Inpma tin GuangdangOcemn Universit Zhanjang 524088 Chna 3)Henan Yuong hpmation Techrokgy Co Ld.Zhergzhou 450003 Chna ABSTRACT Based on a aritlmetic pogress ion with an input secret key amehod is proposed to canstructndmens pnal general ized AmoH tanspmation matrixes Diect calcuation a goritms are also presen ed pr the trans pmation matrix and the inverse trans fom ation matrix The agorithms are ony relevant to the secretkey and their tie comp kxity is equal to n n1)/2 tin esmultplica tion dperaton Using the ndmensional generalized A mold transfom aton matrix as a transfom m atri and adop ting double product Ike scramblng n he iage positon space and the hue space he mage scramb ling method has png period and is public and can preven tmany attacks and thus greatly enhances the systen s security Moreover when the nverse transfomationmatrix is app lied to restore he scrambled mage the period of he tanspm ation matrix is not needed p cakulae Smulaton experments show hat the Prposed mehal is effective and very secure KEY WORDS in a ge encryptiog matrix trans pmatop scramb ling paingext atack 信息安全中图像安全是众所关心的重要问题， 段的置乱变换所用的置乱矩阵元素值相对简单（称 针对大幅图像实施数字图像加密和信息隐藏，矩阵 为规则矩阵置乱，虽然具备较好的安全性，且能改 变换置乱技术是基础性的关键工作，与其他适用技 变被置乱图像的灰度特征，但由于未解决精确周期 术（如混沌技术）有本质不同-习，其研究经历了两 特别是缺乏快速算法，且对攻击不具备全局扩散能 个阶段.第一阶段是以A mo l变换和Fibonacci Q 力，在应用中存在缺陷，加密算法无法完全公开，因 变换为代表的规则矩阵置乱变换技术！.这个阶 此矩阵置乱变换主要是用于数字水印的预处理如 收稿日期：2010-01-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目(NQb0104010107):国家卫星应用高技术产业化重大专项（沙漠救援北斗GP宽温兼容型卫星定位 导航应用系统) 作者简介：李用江(1967-)，男，副教授.博士研究生：葛建华(196)，男，教授，博士生导师，Ema时h@263肥t
第 32卷 第 12期 2010年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.12 Dec.2010 一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像 置乱中的应用 李用江 1, 2) 葛建华 1 ) 李昌利 2) 孙志林 3) 1) 西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室, 西安 710071 2) 广东海洋大学信息学院, 湛江 524088 3) 河南宇通信息技术有限公司, 郑州 450003 摘 要 提出了基于具有输入密钥的等差数列来构造一类 n维广义 Arnold变换矩阵的方法, 并给出了构造变换矩阵和逆变 换矩阵的计算算法, 算法仅与密钥有关, 其时间复杂度相当于 n(n+1) /2次乘法运算.在图像置乱时用该矩阵作为变换矩阵, 采取图像位置空间与色彩空间的多轮乘积型双置乱, 算法具有周期长和算法完全公开等特点, 可有效防止多种攻击, 增强了 系统的安全性.此外, 通过逆变换对置乱图像进行恢复, 无须计算变换矩阵的周期.实验结果表明, 该置乱变换算法效率高, 安全性强. 关键词 图像加密;矩阵变换;置乱;明文攻击 分类号 TP391 Anewconstructionmethodforn-dimensionalgeneralizedArnoldmatrixesand itsapplicationinimagescrambling LIYong-jiang1, 2) , GEJian-hua1) , LIChang-li2) , SUNZhi-lin3) 1) StateKeyLaboratoryofIntegratedServiceNetworks, XidianUniversity, Xi' an710071, China 2) CollegeofInformation, GuangdongOceanUniversity, Zhanjiang524088, China 3) HenanYu-tongInformationTechnologyCo.Ltd., Zhengzhou450003, China ABSTRACT Basedonanarithmeticprogressionwithaninputsecretkey, amethodisproposedtoconstructn-dimensionalgeneralizedArnoldtransformationmatrixes.Directcalculationalgorithmsarealsopresentedforthetransformationmatrixandtheinversetransformationmatrix.Thealgorithmsareonlyrelevanttothesecretkeyandtheirtimecomplexityisequalton( n+1) /2 timesmultiplicationoperation.Usingthen-dimensionalgeneralizedArnoldtransformationmatrixasatransformmatrix, andadoptingdoubleproductlikescramblingintheimagepositionspaceandthehuespace, theimagescramblingmethodhaslongperiodandispublic, andcan preventmanyattacksandthusgreatlyenhancesthesystem' ssecurity.Moreover, whentheinversetransformationmatrixisappliedto restorethescrambledimage, theperiodofthetransformationmatrixisnotneededtocalculate.Simulationexperimentsshowthatthe proposedmethodiseffectiveandverysecure. KEYWORDS imageencryption;matrixtransformation;scrambling;plaintextattack 收稿日期:2010--01--20 基金项目:国家自然科学基金资助项目 ( No.J60104010107) ;国家卫星应用高技术产业化重大专项 (沙漠救援北斗 /GPS宽温兼容型卫星定位 导航应用系统 ) 作者简介:李用江 ( 1967— ), 男, 副教授, 博士研究生;葛建华 ( 1961— ), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:jhg@263.net 信息安全中图像安全是众所关心的重要问题, 针对大幅图像实施数字图像加密和信息隐藏, 矩阵 变换置乱技术是基础性的关键工作, 与其他适用技 术 (如混沌技术 )有本质不同 [ 1--2] , 其研究经历了两 个阶段 .第一阶段是以 Arnold变换和 Fibonacci Q 变换为代表的规则矩阵置乱变换技术 [ 3--4] .这个阶 段的置乱变换所用的置乱矩阵元素值相对简单 (称 为规则矩阵置乱 ), 虽然具备较好的安全性, 且能改 变被置乱图像的灰度特征, 但由于未解决精确周期 特别是缺乏快速算法, 且对攻击不具备全局扩散能 力, 在应用中存在缺陷, 加密算法无法完全公开, 因 此矩阵置乱变换主要是用于数字水印的预处理, 如 DOI :10 .13374 /j .issn1001 -053x .2010 .12 .022
第12期 李用江等：一种新的维广义Am0矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 1631° 文献[5]就是一个此类应用的例子.第二阶段是随 维A mo l变换： 机矩阵置乱变换技术.由文献[6首次提出，整数矩 1 阵元素可以充分随机、模数维数呵以任意.文 2 2 到 2 献[6和[2]分别针对二维、三维随机整数矩阵A决 mod N) 定的置乱变换在任意模下的精确周期T及上界 1 n n ; 估计，并构造快速算法.文献[7刀进一步提出了基于 2 n-1 三维随机矩阵变换和Ga置乱变换的二类置乱变 (3) 换技术.虽然随机矩阵置乱变换技术具备随机性、 式中，苍生，∈Z乙 长周期和概率密钥等特点，可有效防止选择明文攻 文献[4所推广的两种维Amod变换如下. 击，增强信息隐藏的安全性，也构造了求周期的快速 定义3Z上的A型n维Amol变换矩阵为 算法，但要构造一个高维的符合置乱变换要求的随 以下以矩阵： 机矩阵是比较困难的. 针对以上问题，本文提出了使用等差数列来构 1 2 1 造一类潍广义Amo变换矩阵，其中公差可作为 A- : (4) 密钥输入使用此类变换矩阵对图像进行图像像素 2 进行置乱，通过逆变换对置乱图像进行恢复：给出了 1 1 2 构造任意维广义Amod变换矩阵和逆变换矩阵 定义4Z上的B型n维Amod变换矩阵为 的快速算法，其算法可减少由置乱图像恢复为原始 以下以矩阵： 图像的迭代次数. bb b b 1 A rold变换及其推广 bb+1 b叶1 b+1 B- 1.1基本Armo变换倒 b b+1 … b叶(n-2) b+(n-2) 定义1设有正方形上的点（x),将点(xy b b1… b叶(n-2) b+(n-1) 变到另一点（バ）的变换为 (5) mod N 式中，为Z上的可逆元. 2基于等差数列的n维广义Amo变换的 (mad N) 1) 构造方法 式中，xZ={0↓2；N-1为N为自然数. 2.1维广义Amol变换矩阵构造方法 此变换A称作二维A mold变换简称Amo变换或 上述的这些AmO推广变换都具有局限性，仍 猫映射 属于规则矩阵.下面给出一种输入密码的可定制的 1.2二维广义Arno l变换 推广的高维A mold变换构造方法. 文献[9]将A mo ld变换推广为二维广义AmoH 定理设有一个等差序列{4}，4=(n一 变换.设有二维空间Z×Z中的点(，x),将点 (x通过下式变换为另一点(y): 1)d什1其中妫整数少3则由4。；气可 a 以构造一个维广义Amo变换， mod N)= 证明下面分别给出三维和维广义Amod 变换的构造方法. (madN) (2) (1当=3时，可以得到 式中，p,Sdxy均为整数，且|C=士1变 0 0 换C称作二维广义Amold变换. 0 (6 1.3n维Amo变换 一1 0 文献[3]把基本的Amol变换推广到了维 A mol变换，定义如下. 令G= 1 0 定义2对于给定的正整数？下列变换称为· 0-1 一1
第 12期 李用江等:一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 文献[ 5]就是一个此类应用的例子 .第二阶段是随 机矩阵置乱变换技术 .由文献 [ 6]首次提出, 整数矩 阵元素可以充分随机 、模数 N维数 n可以任意.文 献 [ 6]和 [ 2]分别针对二维、三维随机整数矩阵 A决 定的置乱变换在任意模 N下的精确周期 T及上界 估计, 并构造快速算法 .文献 [ 7]进一步提出了基于 三维随机矩阵变换和 Gray置乱变换的二类置乱变 换技术 .虽然随机矩阵置乱变换技术具备随机性 、 长周期和概率密钥等特点, 可有效防止选择明文攻 击, 增强信息隐藏的安全性, 也构造了求周期的快速 算法, 但要构造一个高维的符合置乱变换要求的随 机矩阵是比较困难的 . 针对以上问题, 本文提出了使用等差数列来构 造一类 n维广义 Arnold变换矩阵, 其中公差可作为 密钥输入, 使用此类变换矩阵对图像进行图像像素 进行置乱, 通过逆变换对置乱图像进行恢复;给出了 构造任意 n维广义 Arnold变换矩阵和逆变换矩阵 的快速算法, 其算法可减少由置乱图像恢复为原始 图像的迭代次数 . 1 Arnold变换及其推广 1.1 基本 Arnold变换 [ 8] 定义 1 设有正方形上的点 ( x, y), 将点 ( x, y) 变到另一点 ( x′, y′) 的变换为 x′ y′ = 1 1 1 2 x y ( modN) = A x y (modN) ( 1) 式中, x, y∈ ZN ={0, 1, 2, …, N-1};N为自然数 . 此变换 A称作二维 Arnold变换, 简称 Arnold变换或 猫映射 [ 3] . 1.2 二维广义 Arnold变换 文献[ 9]将 Arnold变换推广为二维广义 Arnold 变换.设有二维空间 ZN ×ZN 中的点 ( x, y), 将点 ( x, y)通过下式变换为另一点 ( x′, y′) : x′ y′ = a b c d x y ( modN) = C x y (modN) ( 2) 式中, a, b, c, d, x, y, x′, y′均为整数, 且 C =±1.变 换 C称作二维广义 Arnold变换. 1.3 n维 Arnold变换 文献 [ 3] 把基本的 Arnold变换推广到了 n维 Arnold变换, 定义如下. 定义 2 对于给定的正整数 n, 下列变换称为 n 维 Arnold变换 : x1′ x2′ xn′ = 1 1 … 1 1 1 2 … 2 2 1 2 … n-1 n-1 1 2 … n-1 n x1 x2 xn ( modN) ( 3) 式中, x1, x2, …, xn∈ ZN. 文献 [ 4]所推广的两种 n维 Arnold变换如下 . 定义 3 ZN 上的 A型 n维 Arnold变换矩阵为 以下 n×n矩阵: A= 1 1 … 1 1 1 2 … 1 1 1 1 … 2 1 1 1 … 1 2 ( 4) 定义 4 ZN 上的 B型 n维 Arnold变换矩阵为 以下 n×n矩阵: B= b b … b b b b+1 … b+1 b+1 b b+1 … b+(n-2) b+( n-2) b b+1 … b+(n-2) b+( n-1) ( 5) 式中, b为 ZN上的可逆元 . 2 基于等差数列的 n维广义 Arnold变换的 构造方法 2.1 n维广义 Arnold变换矩阵构造方法 上述的这些 Arnold推广变换都具有局限性, 仍 属于规则矩阵 .下面给出一种输入密码的可定制的 推广的高维 Arnold变换构造方法. 定理 设有一个 等差序列 {an}, an =(n- 1)d+1, 其中 d为整数, n≥3, 则由 a1, a2, …, an可 以构造一个 n维广义 Arnold变换 . 证明 下面分别给出三维和 n维广义 Arnold 变换的构造方法. ( 1)当 n=3时, 可以得到 0 0 1 0 1 -d 1 -1 -d a3 a2 a1 = 1 1 0 ( 6) 令 G3 = 1 1 1 1 1 0 0 -1 -1 , A3 = 0 0 1 0 1 -d 1 -1 -d , · 1631·
。1632* 北京科技大学学报 第32卷 则IG|=-1|A=一1因此G.A都是可逆矩 8+=1 阵.所以有 2d2d-1 G=(A)G d+1 (7) 9 1 如第23行的值分别是一d一d41至此，式(8)的 显然I(A)G=1从而由4，马，4构造了一个 左边矩阵中的元素的值就确定了， 三维广义Anol变换. 西 为了叙述方便用C表示维广义Amo变 1 1 1 1 1 换矩阵，G表示维基矩阵且|G=(一1)，A表 0 示维矩阵且A(马，，，号，4)=(1↓， Gn= 0 0 l0)(T为矩阵的转置运算).用C(m,A(m表 1 1 0 0 示d仁m时CA的值.例如， 0 0 -1 一1 -1 32 一1 C(1)= 2 2 An= 1 1 0 0 0 0 7 5 0 0 0 …01 -d C(3) 4 4 0 0 …0… 1 -1 1 (2)当为维时，情况比较复杂，分三步. 00…1… -1-1 (-1-4)d 第一步：求A仿照(1有： 2 (-2) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -d -1-1 (-2-5)d 0 (-3 2 0 0 0 1 一1 -d+l -1 3 00 一1 一1 则 0 1 一1 一1 一1 [y2为偶数 1 [y2为奇数 -1 -1 -1 [/2为偶数 -1[2为奇数 1 2 因此GmA都是可逆矩阵. 1 第二步：求(A).通过对三维情况的研究，可 (8) 以得到A的逆矩阵类似下面矩阵： 1 203 24 2+1 …221 -4 -+2 20 10 0 -+3 00 式中，为第行的未知数，心文卫 下面来确定的值.首先对左边矩阵的第行 0 0 .. 进行矩阵运算得到一 a+=0故 0 = 马-24-1=4d+(-3. 0 其次对左边矩阵的第行进行矩阵运算，得到 9)
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 则 G3 =-1, A3 =-1, 因此 G3, A3 都是可逆矩 阵 .所以有 C3 =(A3 ) -1G3 = a3 2d 2d-1 a2 d+1 d a1 1 1 ( 7) 显然 ( A3 ) -1 G3 =1, 从而由 a1, a2, a3 构造了一个 三维广义 Arnold变换 . 为了叙述方便, 用 Cn表示 n维广义 Arnold变 换矩阵, Gn表示 n维基矩阵且 Gn =( -1) n , An表 示 n维矩阵且 An( an, an-1, …, a2, a1 ) T =( 1, 1, …, 1, 0) T ( T为矩阵的转置运算 ).用 Cn( m), An( m)表 示 d=m时 Cn, An的值 .例如, C3 ( 1) = 3 2 1 2 2 1 1 1 1 , C3 ( 3) = 7 6 5 4 4 3 1 1 1 . ( 2)当为 n维时, 情况比较复杂, 分三步. 第一步 :求 An.仿照 ( 1)有 : 0 0 … 0 … 0 0 1 0 0 … 0 … 0 1 -d 0 0 … 0 … 1 -1 -d+1 0 0 … 1 … -1 -1 ti 0 1 … -1 … -1 -1 tn-1 1 -1 … -1 … -1 -1 tn · an an-1 an-2 ai a2 a1 = 1 1 1 1 1 0 ( 8) 式中, ti为第 i行的未知数, 1 <i<n. 下面来确定 ti的值 .首先对左边矩阵的第 n行 进行矩阵运算, 得到 an -∑ n-1 j=2 aj+tn =0, 故 tn =∑ n j=1 aj-2an -1 = ( n-1) (n-4) d 2 +( n-3) . 其次对左边矩阵的第 i行进行矩阵运算, 得到 ai -∑ i-1 j=2 aj+ti=1, ti=∑ i j=1 aj-2ai = ( i-1) ( i-4) d 2 +( i-2), 如第 2, 3行的值分别是 -d, -d+1.至此, 式 ( 8)的 左边矩阵中的元素的值就确定了 . 令 Gn = 1 1 1 … 1 1 1 1 1 … 1 0 1 1 1 … 0 0 1 1 0 … 0 0 0 -1 -1 … -1 -1 , An = 0 0 … 0 … 0 0 1 0 0 … 0 … 0 1 -d 0 0 … 0 … 1 -1 -d+1 0 0 … 1 … -1 -1 ( i-1 ) ( i-4) d 2 +( i-2) 0 1 … -1 … -1 -1 ( n-2 ) ( n-5) d 2 +( n-3 ) 1 -1 … -1 … -1 -1 ( n-1 ) ( n-4) d 2 +( n-3 ) , 则 Gn = 1, [ n/2] 为偶数 -1, [ n/2] 为奇数 An = 1, [ n/2]为偶数 -1, [ n/2]为奇数 因此 Gn, An都是可逆矩阵. 第二步:求 (An) -1 .通过对三维情况的研究, 可 以得到 An的逆矩阵类似下面矩阵: tn 2 n-3 2 n-4 … 2 n-j-1 … 2 1 2 0 1 tn-1 2 n-4 2 n-5 … 2 n-j-2 … 2 0 1 0 tn-2 2 n-5 2 n-6 … 2 n-j-3 … 1 0 0 tn-i+1 2 n-i-2 2 n-i-3 … 1 … 0 0 0 2d-1 1 1 … 0 … 0 0 0 d 1 0 … 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 … 0 0 0 ( 9) · 1632·
第12期 李用江等：一种新的维广义Am0矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 1633 式中，在#为矩阵第行上未知数，↓叶> 计>1 1【【0成立从而计宫2上4 以(A)一矩阵的第一行为例说明求解的方法. 因为(A)1A=E用(A)的第一行乘以A的 1-2=同 +2 第得到一 2-1=0故441-)= 理L+言2+1=号La=Ld宫2上 0+2 =0 (n-)d计1-2+.因此(A)为如下矩阵： (n-1)d42-22 2 24 …21 22° (n-2)d41-23 2 25 2° 1 0 (n-3)d41-24 25 226 …23 00 (n-jd41-2”+12+223 00 (10) 2d-1 1 1 0 0 0 0 d 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 9 第三步：求Cn见式(11，由于Cm=(A)1G显然|G|=±1 ()41(d(1-(y41-2(41-24 (L41-2(nw41-22 (-2)1(n2)脚1(-2)1(n-241-2+3…(-241-25(241-24(-2dH1-23 (3)41(-3)1(-341(-3)d41-24(n-3)41-26(3)1-2g(3)+1-2 n-jd+1(n-9d+1(n-jd+1…(n-jd+1 -(Lj41-23(njd41-2(mj41-2 241 2+1 2d41 … 241 2+1 2d 21 d+l d+1 出1 +1 d+1 d+1 1 1 … 1 1 1 (11) 综上所述，由，马；a构造了一个维广 超出了计算能力. 义Amokk变换.证毕. (Cm)-1=((A)-1Gn)-1=(Gn)1A= 2.2求广义Am0l变换逆矩阵的方法 在工程实际应用中，的值一般比较大，如有的 -1…-1…-1-1-4d+(-2 2 卫星图片大小为2340×3240传统的基于矩阵变换 2 0…0 0 的图像置乱通常使用变换矩阵的周期对图像恢复， -(-3)dk1 : 代价高昂.文献[I0]将Amo逆变换归结为不等 0 2… 0 0 -(-1)d1 式约束下的线性方程组求解，文献[1]探讨了二 维、三维Amol逆变换，文献[12]将伴随矩阵求逆 0 02 0 -(d+1) 方法推广到Z从而解决了维矩阵变换在Z上 0 …0… 一1 -1 的逆阵求解问题.本文则使用计算方法求C在Z么 2 0 00-1 d+1 上的逆矩阵，求逆矩阵过程中也不需要原矩阵参与， 仅与密钥有关，所以不会因为变换矩阵维数较高而 (12)
第 12期 李用江等:一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 式中, tn-i+1为矩阵第 i行上未知数, 1 j>1, n+1 > i+j>1. 以 ( An) -1矩阵的第一行为例说明求解的方法 . 因为 (An) -1 An =E, 用 (An) -1的第一行乘以 An的 第 j列, 得到 a( n+1 -j) j-∑ n-j-2 i=0 2 i -1 =0, 故 a( n+1 -j) j= ∑ n-j-2 i=0 2 i +1 =2 n-j-1 . 下面来求 ai1的元素 tn-i+1, 其中 1 <i<n.因为 An(an, an-1, …, ai, …, a2, a1 ) T =( 1, 1, …, 1, …, 1, 0) T , 所以有 ( an, an-1, …, ai, …, a2, a1 ) T =( An) -1 · ( 1, 1, …, 1, …, 1, 0) T成立 .从而 tn +∑ n-3 j=0 2 j=an, tn =( n-1) d+1 -∑ n-3 j=0 2 j=( n-1) d+2 -2 n-2.同 理 tn-i+1 +∑ n-i-2 j=0 2 j+1 =ai, tn-i+1 =( n-i)d-∑ n-i-2 j=0 2 j= ( n-i)d+1 -2 n-i-1 .因此, ( An) -1为如下矩阵 : ( n-1) d+2 -2 n-2 2 n-3 2 n-4 … 2 n-j-1 … 2 1 2 0 1 ( n-2) d+1 -2 n-3 2 n-4 2 n-5 … 2 n-j-2 … 2 0 1 0 ( n-3) d+1 -2 n-4 2 n-5 2 n-6 … 2 n-j-3 … 1 0 0 ( n-i) d+1 -2 n-i-1 2 n-i-2 2 n-i-3 … 1 … 0 0 0 2d-1 1 1 … 0 … 0 0 0 d 1 0 … 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 … 0 0 0 ( 10) 第三步 :求 Cn.见式 ( 11), 由于 Cn =(An) -1 Gn, 显然 Cn =±1. ( n-1) d+1 ( n-1) d ( n-1) d-1 … ( n-1) d+1 -2 j-2 … ( n-1) d+1 -2 n-4 ( n-1) d+1 -2 n-3 ( n-1) d+1 -2 n-2 ( n-2) d+1 ( n-2) d+1 ( n-2) d-1 … ( n-2) d+1 -2 j-3 … ( n-2) d+1 -2 n-5 ( n-2) d+1 -2 n-4 ( n-2) d+1 -2 n-3 ( n-3) d+1 ( n-3) d+1 ( n-3) d+1 … ( n-3) d+1 -2 j-4 … ( n-3) d+1 -2 n-6 ( n-3) d+1 -2 n-5 ( n-3) d+1 -2 n-4 ( n-i) d+1 ( n-i) d+1 ( n-i) d+1 … ( n-i) d+1 … ( n-i) d+1 -2 n-i-3 ( n-i) d+1 -2 n-i-2 ( n-i) d+1 -2 n-i-1 2d+1 2d+1 2d+1 … 2d+1 … 2d+1 2d 2d-1 d+1 d+1 d+1 … d+1 … d+1 d+1 d 1 1 1 … 1 … 1 1 1 ( 11) 综上所述, 由 a1, a2, …, an构造了一个 n维广 义 Arnold变换.证毕 . 2.2 求广义 Arnold变换逆矩阵的方法 在工程实际应用中, n的值一般比较大, 如有的 卫星图片大小为 2 340 ×3 240, 传统的基于矩阵变换 的图像置乱通常使用变换矩阵的周期对图像恢复, 代价高昂.文献 [ 10] 将 Arnold逆变换归结为不等 式约束下的线性方程组求解, 文献 [ 11] 探讨了二 维 、三维 Arnold逆变换, 文献 [ 12] 将伴随矩阵求逆 方法推广到 ZN, 从而解决了 n维矩阵变换在 ZN上 的逆阵求解问题 .本文则使用计算方法求 Cn在 ZN 上的逆矩阵, 求逆矩阵过程中也不需要原矩阵参与, 仅与密钥有关, 所以不会因为变换矩阵维数较高而 超出了计算能力. (Cn) -1 =( (An) -1 Gn) -1 =(Gn) -1An = 1 -1 … -1 … -1 -1 ( n-1) ( n-4 ) d 2 +( n-2) -1 2 … 0 … 0 0 -( n-3 ) d-1 … 0 0 … 2 … 0 0 -( n-i-1 ) d-1 0 0 … 0 … 2 0 -( d+1 ) 0 0 … 0 … -1 2 -1 0 0 … 0 … 0 -1 d+1 ( 12) · 1633·
。1634 北京科技大学学报 第32卷 3维广义Arno la变换在图像加密时的密 5.1.1AS变换 扩展文献[3]中的定义，把A换成在Z上的可 钥空间 逆矩阵，从而扩大其应用范围. 根据维广义A mold变换的构造方法可以知 定义5A是Zr上具有可逆矩阵的m潍变换 道Cn=(A)1G,当然也可以表示为 矩阵，变换P'=AP(modD,其中P∈Z,被称为 C(d(A(d))*Ga(mod N)(13) AS变换（基于相空间的广义Amo变换，其中T 式中，长亡，2256从式(13)可以看出，G 是图像P中像素灰度级的最高级，通常取T=256 dkN都可以是密钥，长亡，∈Z其密钥空间显 即 然是很大的；Gm是以的矩阵，只要满足IGn= 士即可，所以它密钥空间也很大；有255种选择， 对变换矩阵的影响很大：也就是说这种构造方法在 加密时密钥空间是非常大的，从而安全性更高， 其 品 4n维广义A rold变换的周期性 多 P B 马 / 下面给出变换矩阵维数为30以内自然数的 (mod T) 14) : 以的最简单的C变换矩阵的模周期.即当d= 鼎 R2 Bn 1=1时，Cm(1)=A(1)Gn(mod2)的模周期，见 图I给出了两种广义Amo的AS变换效果 表1从表中可以看出变换矩阵维数较低时，它的模 图及其相应的直方图.图1（马和（分别为原始测 周期也是很大的，如27×27变换矩阵的模周期为 试图像401×361Lama及其直方图；图1(9和(d山 78061568因此，当>100模值取256时，变换矩 阵的模周期都非常大，往往要大于10°.所以，使用 分别为401维广义Amod变换一次AS效果图及 其直方图；(9和（分别为401维广义A mo l变换 此类变换矩阵对图像进行图像像素进行置乱，必须 要通过逆变换对置乱图像进行恢复，希望通过变换 解密效果图及其直方图：图1（和(h分别为 Co1(1)广义A mold变换一次APS效果图及其直方 矩阵的模周期来对置乱图像进行恢复几乎是不可能 的，对图像解密也是相当困难 图；(j和（分别为Co(1)维广义Amod变换解 密效果图及其直方图. 表1变换矩阵的模周期 从图1的(9和（可以直观看到加密图像的 Table 1 Molule period of the tmansfommat in ma trix 效果图及其直方图.可见加密过程将原始图像的 n T n T n T 11 像素值的不均匀分布变成了均匀分布：使密文像素 2047 24 12 819 22 5160B3 值在[0255)整个空间范围内取值概率均等.明文 3 7 13 16 8126433 的统计特性完全被打破，使明密文的相关性大大 15 14 11811 24 16252897 5 4599 2 降低. 28 6 63 16 57337 26 479349 5.1.2图像像素坐标置乱 > 3 17 20 27 78061568 关于图像像素坐标置乱的方法很多，本实验使 217 18 511 28 475107 9 12 19 12865 29 32 用了由Dirichle序列构造的二维广义Amo映射， 10 315 20 200787 方法如下： (15 5 维广义Arnod变换在图像置乱中的应 式中，k少2且k∈Z.记为DK山k,例如 用 DIKL(3 6)= 4729 5.1图像置乱实验 3421 在本实验中，使用了两个广义Amo变换一 图2给出了二维Amo变换和二维广义Amod 个用于图像像素坐标置乱，从而改变图像灰度值的 的DIKI(k变换图像置乱图.图2（为原始测 布局：一个用于图像像素灰度值的APS变换置 试图像512×512Lma标准图：图2(b和(9分别 乱 为二维Anod变换置乱1次和10次的效果图：
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 3 n维广义 Arnold变换在图像加密时的密 钥空间 根据 n维广义 Arnold变换的构造方法可以知 道 Cn =(An) -1 Gn, 当然也可以表示为 Cn(d) ≡( ( An(d) ) -1 ) kGn( modN) ( 13) 式中, k∈ Z + , 2≤N≤256.从式 ( 13)可以看出, Gn, d, k, N都可以是密钥, d∈ Z + , k∈ Z +其密钥空间显 然是很大的;Gn 是 n×n的矩阵, 只要满足 Gn = ±1即可, 所以它密钥空间也很大 ;N有 255种选择, 对变换矩阵的影响很大 ;也就是说这种构造方法在 加密时密钥空间是非常大的, 从而安全性更高 . 4 n维广义 Arnold变换的周期性 下面给出变换矩阵维数为 30 以内自然数的 n×n的最简单的 Cn变换矩阵的模周期.即当 d= 1, k=1时, Cn( 1)≡An( 1) Gn( mod2)的模周期, 见 表 1.从表中可以看出变换矩阵维数较低时, 它的模 周期也是很大的, 如 27 ×27变换矩阵的模周期为 78 061 568.因此, 当 n>100, 模值取 256时, 变换矩 阵的模周期都非常大, 往往要大于 10 10 .所以, 使用 此类变换矩阵对图像进行图像像素进行置乱, 必须 要通过逆变换对置乱图像进行恢复, 希望通过变换 矩阵的模周期来对置乱图像进行恢复几乎是不可能 的, 对图像解密也是相当困难. 表 1 变换矩阵的模周期 Table1 Moduleperiodofthetransformationmatrix n T 1 ＊ 2 3 3 7 4 15 5 8 6 63 7 93 8 217 9 12 10 315 n T 11 2 047 12 819 13 16 14 11 811 15 4 599 16 57 337 17 20 18 511 19 122 865 20 200 787 n T 21 24 22 516 033 23 8 126 433 24 16 252 897 25 28 26 479 349 27 78 061 568 28 475 107 29 32 5 n维广义 Arnold变换在图像置乱中的应 用 5.1 图像置乱实验 在本实验中, 使用了两个广义 Arnold变换, 一 个用于图像像素坐标置乱, 从而改变图像灰度值的 布局;一个用于图像像素灰度值的 APS变换置 乱 [ 3] . 5.1.1 APS变换 扩展文献 [ 3]中的定义, 把 A换成在 ZT上的可 逆矩阵, 从而扩大其应用范围 . 定义 5 A是 ZT上具有可逆矩阵的 m维变换 矩阵, 变换 P′=AP( modT), 其中 Pij∈ ZT, 被称为 APS变换 (基于相空间的广义 Arnold变换 ), 其中 T 是图像 P中像素灰度级的最高级, 通常取 T=256, 即 p′11 p1′2 … p′1n p′21 p2′2 … p′2n pm′1 pm′2 … pm′n = A p11 p12 … p1n p21 p22 … p2n pm1 pm2 … pmn ( modT) ( 14) 图 1给出了两种广义 Arnold的 APS变换效果 图及其相应的直方图.图 1( a)和 ( b)分别为原始测 试图像 401 ×361 Lena及其直方图 ;图 1 ( c)和 ( d) 分别为 401 维广义 Arnold变换一次 APS效果图及 其直方图 ;(e)和 ( f)分别为 401维广义 Arnold变换 解密效果图及其直方图;图 1 ( g) 和 ( h)分别为 C401 ( 1)广义 Arnold变换一次 APS效果图及其直方 图;( i)和 ( j)分别为 C401 ( 1)维广义 Arnold变换解 密效果图及其直方图. 从图 1的 ( c) 和 ( d)可以直观看到加密图像的 效果图及其直方图 .可见, 加密过程将原始图像的 像素值的不均匀分布变成了均匀分布 ;使密文像素 值在 [ 0, 255]整个空间范围内取值概率均等 .明文 的统计特性完全被打破, 使明密文的相关性大大 降低 . 5.1.2 图像像素坐标置乱 关于图像像素坐标置乱的方法很多, 本实验使 用了由 Dirichlet序列构造的二维广义 Arnold映射, 方法如下 : DLKL= 1 1 1 0 k-1 1 1 0 1 1 1 0 n ( 15) 式中, k, n>2且 k, n∈ Z + .记为 DLKL( k, n), 例如 DLKL( 3, 6) = 47 29 34 21 . 图 2给出了二维 Arnold变换和二维广义 Arnold 的 DLKL(k, n)变换图像置乱图.图 2( a)为原始测 试图像 512 ×512 Lena标准图 ;图 2 ( b)和 ( c)分别 为二维 Arnold变换置乱 1 次和 10 次的效果图; · 1634·
第12期 李用江等：一种新的维广义Am0矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 1635 图2(4和(9分别为二维广义Am0的DIKI(36)变换置乱1次和10次的效果图. (a) (e) 1800 I400 I 800 1400 I 800 1200 1200 1200 1000 1000 1200 800 600 600 400 200 200 050100150200250 050100150200250 050100150200250 050100150200250 050100150200250 (b) ) h G 图1两种广义AmoH变换图像加解密图及其相应的直方图.（号，(b原图401X361及其直方图：(9，(4Amol变换1次APS图及其 直方图：(9，(5解密效果图及其直方图：(，(hCm(1)变换1次APS图及其直方图：()，(j解密效果图及其直方图 Fig I Encrypted mages decrypt mages and the ir corresponding hisrgrans of wo kinds ofgenemlizedAmol tmnsfomat(a.(b orginal m. ae01x 361 and its hisrogram (9.(d one tme APS mage ofAmol transfmmation and is hisogra (e.(f decppted mage ard its histo gn(.(h one ti恤e APS h血e ofC(I)transma tion and is hispgra(马，()decrypted血ge and i在hisxgmm (a) (b) d (e) 图2二维Amo变换和二维广义Amo的D1KL(k变换图像置乱图.（两原图512X512(bAmo变换1次图：(9Amo变换10 次图：（山DLK4(36)变换1次图：(9DLK1(36)变换10次图 Fig 2 Scrambling mages of2-dmensional Amol transoma tion and generalized Amol transpmation org nal mage512X 512 b one tme Amol tanspmaticn ma琴(9 ten tmesAmod tmarspmation mag军(done血eDLK(36)transpma知ma等(9ent血s[DIK(36) mnsfommat知ma您 Dirichle序列的一个突出性质是它的任意两个 效果，并抵御选择明文攻击等破译算法 相邻的元素互素，在图像加密时，可以让用户输入 图3给出了图像Lam4图2(9,512×512)像 k·及叠代次数作为密钥.由于输入的参数可选 素灰度值和坐标双置乱效果图及其相应的直方图. 多，密钥空间大真正可以做到“一次一密”，彻底解 图3（马和(b)分别为二维广义Amol的DKI(3 决文献[9义Amo变换的形式只有四种选择的困 6)变换置乱12次的效果图及其直方图：图3(9和 境，增加了图像加密系统的安全.通过实验仿真可 (4分别为广义Amo变换G(2)对图3（马进行 以看出，这种方法的置乱效果好，可以选择到周期较 2次APS变换的效果图及其直方图：图3(9和( 大的变换矩阵，并且计算复杂度不比二维Amod变 分别为解密效果及其直方图. 换大. 5.2图像攻击实验 5.1.3图像像素灰度值和坐标多轮双置乱 图4给出了加密图受到攻击后图像解密效果及 通过输入密码，生成长周期二维广义Amo变 其相应的直方图.通过观察和比较可以发现图4( 换矩阵进行位置空间置乱，为了防止仅作空间置乱 与图3（差别不大，图4的(9与图3的(9比较也 有轮廓显现，再引入色彩空间的置乱，然后进行多轮 只是增加了一些黑白点，不影响图像的整体效果. 置乱变换.具体步骤是：①先使用二维广义AmoH 6结语 中的DKI(k叫变换给图像像素坐标进行置乱：② 使用m维广义Anol中的Cm(d变换图对图像像 使用等差数列来构造维广义Amo变换矩 素灰度值进行AS变换：③为了加强安全，重复①、 阵的方法是构造矩阵的一种新方法，其算法仅与密 ②进行多轮乘积型置乱变换，达到高维矩阵置乱的 钥有关且密钥空间是非常大的，具有“一次一密”特
第 12期 李用江等:一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 图 2( d)和 ( e)分别为二维广义 Arnold的 DLKL( 3, 6)变换置乱 1次和 10次的效果图. 图 1 两种广义 Arnold变换图像加解密图及其相应的直方图.( a), ( b)原图 401×361及其直方图;( c), ( d) Arnold变换 1次 APS图及其 直方图;( e), (f) 解密效果图及其直方图;(g), (h) C401 ( 1)变换 1次 APS图及其直方图;( i), ( j) 解密效果图及其直方图 Fig.1 Encryptedimages, decryptimagesandtheircorrespondinghistogramsoftwokindsofgeneralizedArnoldtransformation:( a), ( b) originalimage401×361 anditshistogram;( c), ( d) onetimeAPSimageofArnoldtransformationanditshistogram;(e), ( f) decryptedimageanditshistogram;(g), ( h) onetimeAPSimageofC401 ( 1 ) transformationanditshistogram;(i), ( j) decryptedimageanditshistogram 图 2 二维 Arnold变换和二维广义 Arnold的 DLKL( k, n)变换图像置乱图.( a) 原图 512×512;( b) Arnold变换 1次图;( c) Arnold变换 10 次图;( d) DLKL( 3, 6)变换 1次图;(e) DLKL( 3, 6 )变换 10次图 Fig.2 Scramblingimagesof2-dimensionalArnoldtransformationandgeneralizedArnoldtransformation:( a) originalimage512×512;( b) onetime Arnoldtransformationimage;(c) tentimesArnoldtransformationimage;( d) onetimeDLKL( 3, 6 ) transformationimage;( e) tentimesDLKL( 3, 6) transformationimage Dirichlet序列的一个突出性质是它的任意两个 相邻的元素互素, 在图像加密时, 可以让用户输入 k、n及叠代次数作为密钥.由于输入的参数可选 多, 密钥空间大, 真正可以做到 “一次一密 ”, 彻底解 决文献 [ 9]义 Arnold变换的形式只有四种选择的困 境, 增加了图像加密系统的安全.通过实验仿真可 以看出, 这种方法的置乱效果好, 可以选择到周期较 大的变换矩阵, 并且计算复杂度不比二维 Arnold变 换大. 5.1.3 图像像素灰度值和坐标多轮双置乱 通过输入密码, 生成长周期二维广义 Arnold变 换矩阵进行位置空间置乱, 为了防止仅作空间置乱 有轮廓显现, 再引入色彩空间的置乱, 然后进行多轮 置乱变换.具体步骤是:①先使用二维广义 Arnold 中的 DLKL(k, n)变换给图像像素坐标进行置乱 ;② 使用 m维广义 Arnold中的 Cm ( d)变换图对图像像 素灰度值进行 APS变换;③为了加强安全, 重复 ①、 ②进行多轮乘积型置乱变换, 达到高维矩阵置乱的 效果, 并抵御选择明文攻击等破译算法 . 图 3给出了图像 Lena(图 2 ( a), 512 ×512)像 素灰度值和坐标双置乱效果图及其相应的直方图. 图 3(a)和 ( b)分别为二维广义 Arnold的 DLKL( 3, 6)变换置乱 12次的效果图及其直方图 ;图 3( c)和 ( d)分别为广义 Arnold变换 C512 ( 2)对图 3( a)进行 2次 APS变换的效果图及其直方图 ;图 3( e)和 ( f) 分别为解密效果及其直方图 . 5.2 图像攻击实验 图 4给出了加密图受到攻击后图像解密效果及 其相应的直方图.通过观察和比较可以发现图 4( f) 与图 3( f)差别不大, 图 4的 ( e)与图 3的 ( e)比较也 只是增加了一些黑白点, 不影响图像的整体效果 . 6 结语 使用等差数列来构造 n维广义 Arnold变换矩 阵的方法是构造矩阵的一种新方法, 其算法仅与密 钥有关且密钥空间是非常大的, 具有 “一次一密”特 · 1635·
。1636 北京科技大学学报 第32卷 参考文献 【】GaoH J Zheng Y$L ing SY et a]A new chaotic algritm pr mage encoption Chaos SoutionsFmca 2006 29(2):393 【习W angZH The perid of heedmensin randon matx scramb ling tmnsom ation and its applications Acta So Na tUniv Surva ts mi200847(1):21 (a） (c) (王泽辉。三维随机矩阵置乱变换的周期及其应用.中山大学 3000 2500 3000 学报：自然科学版.200847(1片21) 2000 2000 1500 2000 [3 QiD X Zau JC HanX Y A new c hss of scrambling tmnsfoma 1000 1000 00 tion and its application in he mage inomation coverng SciChi na Ser E200043(3片304 050100150200250 50100150200250 050100150200250 4 YangL Z Chen K F On the oders of trnspmation matrices (b) d) Q (mal n and wo vpes ofgeneraliad Amod tmnspma tin matri 图3图像双置乱效果图及其相应的直方图.(，(DK(36) ces SiChina Ser E 2004 47(5):655 变换12次图及其直方图：(9，(4C2(1)变换2次AP图及 [ W angY Zheng D↓WuYH A灰mbeddng agoritm pr 其直方图：(9，()解密效果图及其直方图 multiple wa tema JUniv Si Technol Beijing 2006 28(8):799 Fg3 Two scrambling maes and the ir comesponding hispgras (王英，郑德玲，吴延华.一种多重水印零嵌入算法.北京科技 (两，(b)l2血s DLK36)anspma知血ge and its his段 大学学报，200628(8)：799) grm ((d 2 tmesAPS mage of C (1)tmnspmaticn and its W agZH On the period of2D randon matrx scrmbling trs mation and its applica tins in mage nmation hiding Chn J histgra四(9，(5 dec pred mae and its hiscgra Conput200629(12):2218 (王泽辉.二维随机矩阵置乱变换的周期及在图像信息隐藏 中的应用.计算机学报，200629(12)：2218) 黑客 17 W ang Z H Public key cryposstem for gaphics and in age based on integrating randon scrmbling pemutation and ring theory J Comput Aid Des ComputGra 009 21(5):708 (王泽辉.集成随机置乱和环论的图形图像公钥加密技术.计 a (e) 算机辅助设计与图形学学报，200921(5)：708) 2500 3000 3000 [8 Amol V I Avez A Ergodic Prob kms of Classical Mechanics 2000 1500 2000 2000 Ma thematical Physics Moncgraph Series New York W A Benj 1000 I000 000 mn NC 1968 500 050100150200250 050100150200250 050100150200250 [9 Ma Z G QuS An mage crprosystm based on geneml cat ) map JChina Inst Commun 2003.24(2):51 ) (马在光，丘水生.基于广义猫映射的一种图像加密系统.通 图4加密图受攻击后图像解密效果及其相应的直方图。()， 信学报，2003.242)：51) (b受攻击图及其直方图：(9，(d山DK(36反变换图及其 10 Kong T ZhangD A new antiAmol tmnsfomation algoritm J 直方图：(9.（∫解密效果图及其直方图 S0 fware200415(10)h:1558 Fg 4 Decryped mages and their comespond ing hisograms after an (孔涛.张亶.Amo饭变换的一种新算法.软件学报，2004 atads ((b attacked mage and its hisrgra 9.(d mage 15(10):1558) ofDIKI(36)nve rse iransfmat知d its hisg(9,(手de 【l川Yarg Y I CaiN NiG Q Digial mage scrmbling techrokgy c yp ed mage and its histogram based on the symmetry of Amod tmnsfom J Beiing mst Techn 0200615(2):216 性，提高了算法的安全性：由密钥生成的变换矩阵和 12 Shao L P Qn Z HengX C et al Solution for the nverse pob km of matrix tansfom based image scrambling Ac Electron 逆变换矩阵的算法中不涉及矩阵运算，时间复杂度 S0200836(7:1355 仅为叶1)2次乘法运算，不会因为变换矩阵维 (邵利平，覃征，衡星辰，等.基于矩阵变换的图像置乱逆问题 数较高而超出了计算能力.将这类矩阵作为变换矩 求解.电子学报，200836(7)：1355) 阵应用于图像置乱时，采用同时对图像位置空间与 13 Yang X Y Su GW.Zharg MQ mage stganognaphy schme based onK erckhoffs Prncpl JW thau Univ NatSciEd 2009 色彩空间进行多轮乘积型双置乱算法，其特点是变 55(1):67 换矩阵周期长，算法可以完全公开，符合Kerckho压 (杨晓元，苏光伟，张敏情.基于Kerckhoffs原则的图像隐密 原则，提高了隐密的安全性. 算法.武汉大学学报：理学版.209.55(1)：67)
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 3 图像双置乱效果图及其相应的直方图.(a), ( b) DLKL( 3, 6 ) 变换 12次图及其直方图;( c), ( d) C512 ( 1) 变换 2次 APS图及 其直方图;( e), ( f) 解密效果图及其直方图 Fig.3 Two-scramblingimagesandtheircorrespondinghistograms: ( a), ( b) 12timesDLKL( 3, 6 ) transformationimageanditshistogram;(c), ( d) 2timesAPSimageofC512 ( 1) transformationandits histogram;( e), (f) decryptedimageanditshistogram 图 4 加密图受攻击后图像解密效果及其相应的直方图.( a), ( b) 受攻击图及其直方图;( c), ( d) DLKL( 3, 6)反变换图及其 直方图;( e), ( f) 解密效果图及其直方图 Fig.4 Decryptedimagesandtheircorrespondinghistogramsafteran attack:( a), ( b) attackedimageanditshistogram;( c), ( d) image ofDLKL( 3, 6) inversetransformationanditshistogram;( e), ( f) decryptedimageanditshistogram 性, 提高了算法的安全性;由密钥生成的变换矩阵和 逆变换矩阵的算法中不涉及矩阵运算, 时间复杂度 仅为 n( n+1) /2次乘法运算, 不会因为变换矩阵维 数较高而超出了计算能力 .将这类矩阵作为变换矩 阵应用于图像置乱时, 采用同时对图像位置空间与 色彩空间进行多轮乘积型双置乱算法, 其特点是变 换矩阵周期长, 算法可以完全公开, 符合 Kerckhoffs 原则 [ 13] , 提高了隐密的安全性 . 参 考 文 献 [ 1] GaoHJ, ZhengYS, LiangSY, etal.Anewchaoticalgorithmfor imageencryption.ChaosSolutionsFractals, 2006, 29( 2 ) :393 [ 2] WangZH.Theperiodofthree-dimensionrandommatrixscramblingtransformationanditsapplications.ActaSciNatUnivSunyatseni, 2008, 47( 1) :21 (王泽辉.三维随机矩阵置乱变换的周期及其应用.中山大学 学报:自然科学版, 2008, 47( 1 ):21) [ 3] QiDX, ZouJC, HanXY.Anewclassofscramblingtransformationanditsapplicationintheimageinformationcovering.SciChinaSerE, 2000, 43( 3 ):304 [ 4] YangLZ, ChenKF.Ontheordersoftransformationmatrices ( modn) andtwotypesofgeneralizedArnoldtransformationmatrices.SciChinaSerF, 2004, 47( 5 ):655 [ 5] WangY, ZhengDL, WuYH.Azero-embeddingalgorithmfor multiplewatermarks.JUnivSciTechnolBeijing, 2006, 28( 8) :799 (王英, 郑德玲, 吴延华.一种多重水印零嵌入算法.北京科技 大学学报, 2006, 28( 8 ) :799) [ 6] WangZH.Ontheperiodof2Drandommatrixscramblingtransformationanditsapplicationsinimageinformationhiding.ChinJ Comput, 2006, 29 ( 12) :2218 (王泽辉.二维随机矩阵置乱变换的周期及在图像信息隐藏 中的应用.计算机学报, 2006, 29 ( 12) :2218) [ 7] WangZH.Publickeycryptosystemforgraphicsandimagebased onintegratingrandomscramblingpermutationandringtheory.J ComputAidDesComputGraph, 2009, 21( 5) :708 (王泽辉.集成随机置乱和环论的图形图像公钥加密技术.计 算机辅助设计与图形学学报, 2009, 21 ( 5) :708 ) [ 8] ArnoldVI, AvezA.ErgodicProblemsofClassicalMechanics. MathematicalPhysicsMonographSeries.NewYork:W ABenjaminINC, 1968 [ 9] MaZG, QiuSS.Animagecryptosystembasedongeneralcat map.JChinaInstCommun, 2003, 24 ( 2) :51 (马在光, 丘水生.基于广义猫映射的一种图像加密系统.通 信学报, 2003, 24( 2 ) :51) [ 10] KongT, ZhangD.Anewanti-Arnoldtransformationalgorithm.J Software, 2004, 15( 10 ):1558 (孔涛, 张亶.Arnold反变换的一种新算法.软件学报, 2004, 15 ( 10) :1558 ) [ 11] YangYL, CaiN, NiGQ.Digitalimagescramblingtechnology basedonthesymmetryofArnoldtransform.JBeijingInstTechnol, 2006, 15 ( 2) :216 [ 12] ShaoLP, QinZ, HengXC, etal.Solutionfortheinverseproblemofmatrixtransform basedimagescrambling.ActaElectron Sin, 2008, 36( 7) :1355 (邵利平, 覃征, 衡星辰, 等.基于矩阵变换的图像置乱逆问题 求解.电子学报, 2008, 36( 7 ):1355) [ 13] YangXY, SuGW, ZhangMQ.Imagesteganographyscheme basedonKerckhoffsPrinciple.JWuhauUnivNatSciEd, 2009, 55 ( 1) :67 (杨晓元, 苏光伟, 张敏情.基于 Kerckhoffs原则的图像隐密 算法.武汉大学学报:理学版, 2009, 55( 1) :67) · 1636·