第12期 李用江等：一种新的维广义Am0矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 1633 式中，在#为矩阵第行上未知数，<衣具 下面来求a的元素在#，其中<长口因为 (A)是一个上三角矩阵，副对角线上的数值 A(8h;8;)=(1↓3↓↓ 为1：第行有-1个0不在副对角线上和第1列 0),所以有（号马3，）=(A). 上的元素a的值为2+其中少>↓叶> 计>1 1【【0成立从而计宫2上4 以(A)一矩阵的第一行为例说明求解的方法. 因为(A)1A=E用(A)的第一行乘以A的 1-2=同 +2 第得到一 2-1=0故441-)= 理L+言2+1=号La=Ld宫2上 0+2 =0 (n-)d计1-2+.因此(A)为如下矩阵： (n-1)d42-22 2 24 …21 22° (n-2)d41-23 2 25 2° 1 0 (n-3)d41-24 25 226 …23 00 (n-jd41-2”+12+223 00 (10) 2d-1 1 1 0 0 0 0 d 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 9 第三步：求Cn见式(11，由于Cm=(A)1G显然|G|=±1 ()41(d(1-(y41-2(41-24 (L41-2(nw41-22 (-2)1(n2)脚1(-2)1(n-241-2+3…(-241-25(241-24(-2dH1-23 (3)41(-3)1(-341(-3)d41-24(n-3)41-26(3)1-2g(3)+1-2 n-jd+1(n-9d+1(n-jd+1…(n-jd+1 -(Lj41-23(njd41-2(mj41-2 241 2+1 2d41 … 241 2+1 2d 21 d+l d+1 出1 +1 d+1 d+1 1 1 … 1 1 1 (11) 综上所述，由，马；a构造了一个维广 超出了计算能力. 义Amokk变换.证毕. (Cm)-1=((A)-1Gn)-1=(Gn)1A= 2.2求广义Am0l变换逆矩阵的方法 在工程实际应用中，的值一般比较大，如有的 -1…-1…-1-1-4d+(-2 2 卫星图片大小为2340×3240传统的基于矩阵变换 2 0…0 0 的图像置乱通常使用变换矩阵的周期对图像恢复， -(-3)dk1 : 代价高昂.文献[I0]将Amo逆变换归结为不等 0 2… 0 0 -(-1)d1 式约束下的线性方程组求解，文献[1]探讨了二 维、三维Amol逆变换，文献[12]将伴随矩阵求逆 0 02 0 -(d+1) 方法推广到Z从而解决了维矩阵变换在Z上 0 …0… 一1 -1 的逆阵求解问题.本文则使用计算方法求C在Z么 2 0 00-1 d+1 上的逆矩阵，求逆矩阵过程中也不需要原矩阵参与， 仅与密钥有关，所以不会因为变换矩阵维数较高而 (12)第 12期 李用江等:一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 式中, tn-i+1为矩阵第 i行上未知数, 1 <i<n. (An) -1是一个上三角矩阵, 副对角线上的数值 为 1;第 i行有 i-1个 0;不在副对角线上和第 1列 上的元素 aij的值为 2 n-i-j , 其中 n>j>1, n+1 > i+j>1. 以 ( An) -1矩阵的第一行为例说明求解的方法 . 因为 (An) -1 An =E, 用 (An) -1的第一行乘以 An的 第 j列, 得到 a( n+1 -j) j-∑ n-j-2 i=0 2 i -1 =0, 故 a( n+1 -j) j= ∑ n-j-2 i=0 2 i +1 =2 n-j-1 . 下面来求 ai1的元素 tn-i+1, 其中 1 <i<n.因为 An(an, an-1, …, ai, …, a2, a1 ) T =( 1, 1, …, 1, …, 1, 0) T , 所以有 ( an, an-1, …, ai, …, a2, a1 ) T =( An) -1 · ( 1, 1, …, 1, …, 1, 0) T成立 .从而 tn +∑ n-3 j=0 2 j=an, tn =( n-1) d+1 -∑ n-3 j=0 2 j=( n-1) d+2 -2 n-2.同 理 tn-i+1 +∑ n-i-2 j=0 2 j+1 =ai, tn-i+1 =( n-i)d-∑ n-i-2 j=0 2 j= ( n-i)d+1 -2 n-i-1 .因此, ( An) -1为如下矩阵 : ( n-1) d+2 -2 n-2 2 n-3 2 n-4 … 2 n-j-1 … 2 1 2 0 1 ( n-2) d+1 -2 n-3 2 n-4 2 n-5 … 2 n-j-2 … 2 0 1 0 ( n-3) d+1 -2 n-4 2 n-5 2 n-6 … 2 n-j-3 … 1 0 0        ( n-i) d+1 -2 n-i-1 2 n-i-2 2 n-i-3 … 1 … 0 0 0        2d-1 1 1 … 0 … 0 0 0 d 1 0 … 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 … 0 0 0 ( 10) 第三步 :求 Cn.见式 ( 11), 由于 Cn =(An) -1 Gn, 显然 Cn =±1. ( n-1) d+1 ( n-1) d ( n-1) d-1 … ( n-1) d+1 -2 j-2 … ( n-1) d+1 -2 n-4 ( n-1) d+1 -2 n-3 ( n-1) d+1 -2 n-2 ( n-2) d+1 ( n-2) d+1 ( n-2) d-1 … ( n-2) d+1 -2 j-3 … ( n-2) d+1 -2 n-5 ( n-2) d+1 -2 n-4 ( n-2) d+1 -2 n-3 ( n-3) d+1 ( n-3) d+1 ( n-3) d+1 … ( n-3) d+1 -2 j-4 … ( n-3) d+1 -2 n-6 ( n-3) d+1 -2 n-5 ( n-3) d+1 -2 n-4        ( n-i) d+1 ( n-i) d+1 ( n-i) d+1 … ( n-i) d+1 … ( n-i) d+1 -2 n-i-3 ( n-i) d+1 -2 n-i-2 ( n-i) d+1 -2 n-i-1        2d+1 2d+1 2d+1 … 2d+1 … 2d+1 2d 2d-1 d+1 d+1 d+1 … d+1 … d+1 d+1 d 1 1 1 … 1 … 1 1 1 ( 11) 综上所述, 由 a1, a2, …, an构造了一个 n维广 义 Arnold变换.证毕 . 2.2 求广义 Arnold变换逆矩阵的方法 在工程实际应用中, n的值一般比较大, 如有的 卫星图片大小为 2 340 ×3 240, 传统的基于矩阵变换 的图像置乱通常使用变换矩阵的周期对图像恢复, 代价高昂.文献 [ 10] 将 Arnold逆变换归结为不等 式约束下的线性方程组求解, 文献 [ 11] 探讨了二 维 、三维 Arnold逆变换, 文献 [ 12] 将伴随矩阵求逆 方法推广到 ZN, 从而解决了 n维矩阵变换在 ZN上 的逆阵求解问题 .本文则使用计算方法求 Cn在 ZN 上的逆矩阵, 求逆矩阵过程中也不需要原矩阵参与, 仅与密钥有关, 所以不会因为变换矩阵维数较高而 超出了计算能力. (Cn) -1 =( (An) -1 Gn) -1 =(Gn) -1An = 1 -1 … -1 … -1 -1 ( n-1) ( n-4 ) d 2 +( n-2) -1 2 … 0 … 0 0 -( n-3 ) d-1   …      0 0 … 2 … 0 0 -( n-i-1 ) d-1       0 0 … 0 … 2 0 -( d+1 ) 0 0 … 0 … -1 2 -1 0 0 … 0 … 0 -1 d+1 ( 12) · 1633·