。1634 北京科技大学学报 第32卷 3维广义Arno la变换在图像加密时的密 5.1.1AS变换 扩展文献[3]中的定义，把A换成在Z上的可 钥空间 逆矩阵，从而扩大其应用范围. 根据维广义A mold变换的构造方法可以知 定义5A是Zr上具有可逆矩阵的m潍变换 道Cn=(A)1G,当然也可以表示为 矩阵，变换P'=AP(modD,其中P∈Z,被称为 C(d(A(d))*Ga(mod N)(13) AS变换（基于相空间的广义Amo变换，其中T 式中，长亡，2256从式(13)可以看出，G 是图像P中像素灰度级的最高级，通常取T=256 dkN都可以是密钥，长亡，∈Z其密钥空间显 即 然是很大的；Gm是以的矩阵，只要满足IGn= 士即可，所以它密钥空间也很大；有255种选择， 对变换矩阵的影响很大：也就是说这种构造方法在 加密时密钥空间是非常大的，从而安全性更高， 其 品 4n维广义A rold变换的周期性 多 P B 马 / 下面给出变换矩阵维数为30以内自然数的 (mod T) 14) : 以的最简单的C变换矩阵的模周期.即当d= 鼎 R2 Bn 1=1时，Cm(1)=A(1)Gn(mod2)的模周期，见 图I给出了两种广义Amo的AS变换效果 表1从表中可以看出变换矩阵维数较低时，它的模 图及其相应的直方图.图1（马和（分别为原始测 周期也是很大的，如27×27变换矩阵的模周期为 试图像401×361Lama及其直方图；图1(9和(d山 78061568因此，当>100模值取256时，变换矩 阵的模周期都非常大，往往要大于10°.所以，使用 分别为401维广义Amod变换一次AS效果图及 其直方图；(9和（分别为401维广义A mo l变换 此类变换矩阵对图像进行图像像素进行置乱，必须 要通过逆变换对置乱图像进行恢复，希望通过变换 解密效果图及其直方图：图1（和(h分别为 Co1(1)广义A mold变换一次APS效果图及其直方 矩阵的模周期来对置乱图像进行恢复几乎是不可能 的，对图像解密也是相当困难 图；(j和（分别为Co(1)维广义Amod变换解 密效果图及其直方图. 表1变换矩阵的模周期 从图1的(9和（可以直观看到加密图像的 Table 1 Molule period of the tmansfommat in ma trix 效果图及其直方图.可见加密过程将原始图像的 n T n T n T 11 像素值的不均匀分布变成了均匀分布：使密文像素 2047 24 12 819 22 5160B3 值在[0255)整个空间范围内取值概率均等.明文 3 7 13 16 8126433 的统计特性完全被打破，使明密文的相关性大大 15 14 11811 24 16252897 5 4599 2 降低. 28 6 63 16 57337 26 479349 5.1.2图像像素坐标置乱 > 3 17 20 27 78061568 关于图像像素坐标置乱的方法很多，本实验使 217 18 511 28 475107 9 12 19 12865 29 32 用了由Dirichle序列构造的二维广义Amo映射， 10 315 20 200787 方法如下： (15 5 维广义Arnod变换在图像置乱中的应 式中，k少2且k∈Z.记为DK山k,例如 用 DIKL(3 6)= 4729 5.1图像置乱实验 3421 在本实验中，使用了两个广义Amo变换一 图2给出了二维Amo变换和二维广义Amod 个用于图像像素坐标置乱，从而改变图像灰度值的 的DIKI(k变换图像置乱图.图2（为原始测 布局：一个用于图像像素灰度值的APS变换置 试图像512×512Lma标准图：图2(b和(9分别 乱 为二维Anod变换置乱1次和10次的效果图：北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 3 n维广义 Arnold变换在图像加密时的密 钥空间 根据 n维广义 Arnold变换的构造方法可以知 道 Cn =(An) -1 Gn, 当然也可以表示为 Cn(d) ≡( ( An(d) ) -1 ) kGn( modN) ( 13) 式中, k∈ Z + , 2≤N≤256.从式 ( 13)可以看出, Gn, d, k, N都可以是密钥, d∈ Z + , k∈ Z +其密钥空间显 然是很大的;Gn 是 n×n的矩阵, 只要满足 Gn = ±1即可, 所以它密钥空间也很大 ;N有 255种选择, 对变换矩阵的影响很大 ;也就是说这种构造方法在 加密时密钥空间是非常大的, 从而安全性更高 . 4 n维广义 Arnold变换的周期性 下面给出变换矩阵维数为 30 以内自然数的 n×n的最简单的 Cn变换矩阵的模周期.即当 d= 1, k=1时, Cn( 1)≡An( 1) Gn( mod2)的模周期, 见 表 1.从表中可以看出变换矩阵维数较低时, 它的模 周期也是很大的, 如 27 ×27变换矩阵的模周期为 78 061 568.因此, 当 n>100, 模值取 256时, 变换矩 阵的模周期都非常大, 往往要大于 10 10 .所以, 使用 此类变换矩阵对图像进行图像像素进行置乱, 必须 要通过逆变换对置乱图像进行恢复, 希望通过变换 矩阵的模周期来对置乱图像进行恢复几乎是不可能 的, 对图像解密也是相当困难. 表 1 变换矩阵的模周期 Table1 Moduleperiodofthetransformationmatrix n T 1 ＊ 2 3 3 7 4 15 5 8 6 63 7 93 8 217 9 12 10 315 n T 11 2 047 12 819 13 16 14 11 811 15 4 599 16 57 337 17 20 18 511 19 122 865 20 200 787 n T 21 24 22 516 033 23 8 126 433 24 16 252 897 25 28 26 479 349 27 78 061 568 28 475 107 29 32 5 n维广义 Arnold变换在图像置乱中的应 用 5.1 图像置乱实验 在本实验中, 使用了两个广义 Arnold变换, 一 个用于图像像素坐标置乱, 从而改变图像灰度值的 布局;一个用于图像像素灰度值的 APS变换置 乱 [ 3] . 5.1.1 APS变换 扩展文献 [ 3]中的定义, 把 A换成在 ZT上的可 逆矩阵, 从而扩大其应用范围 . 定义 5 A是 ZT上具有可逆矩阵的 m维变换 矩阵, 变换 P′=AP( modT), 其中 Pij∈ ZT, 被称为 APS变换 (基于相空间的广义 Arnold变换 ), 其中 T 是图像 P中像素灰度级的最高级, 通常取 T=256, 即 p′11 p1′2 … p′1n p′21 p2′2 … p′2n    pm′1 pm′2 … pm′n = A p11 p12 … p1n p21 p22 … p2n    pm1 pm2 … pmn ( modT) ( 14) 图 1给出了两种广义 Arnold的 APS变换效果 图及其相应的直方图.图 1( a)和 ( b)分别为原始测 试图像 401 ×361 Lena及其直方图 ;图 1 ( c)和 ( d) 分别为 401 维广义 Arnold变换一次 APS效果图及 其直方图 ;(e)和 ( f)分别为 401维广义 Arnold变换 解密效果图及其直方图;图 1 ( g) 和 ( h)分别为 C401 ( 1)广义 Arnold变换一次 APS效果图及其直方 图;( i)和 ( j)分别为 C401 ( 1)维广义 Arnold变换解 密效果图及其直方图. 从图 1的 ( c) 和 ( d)可以直观看到加密图像的 效果图及其直方图 .可见, 加密过程将原始图像的 像素值的不均匀分布变成了均匀分布 ;使密文像素 值在 [ 0, 255]整个空间范围内取值概率均等 .明文 的统计特性完全被打破, 使明密文的相关性大大 降低 . 5.1.2 图像像素坐标置乱 关于图像像素坐标置乱的方法很多, 本实验使 用了由 Dirichlet序列构造的二维广义 Arnold映射, 方法如下 : DLKL= 1 1 1 0 k-1 1 1 0 1 1 1 0 n ( 15) 式中, k, n>2且 k, n∈ Z + .记为 DLKL( k, n), 例如 DLKL( 3, 6) = 47 29 34 21 . 图 2给出了二维 Arnold变换和二维广义 Arnold 的 DLKL(k, n)变换图像置乱图.图 2( a)为原始测 试图像 512 ×512 Lena标准图 ;图 2 ( b)和 ( c)分别 为二维 Arnold变换置乱 1 次和 10 次的效果图; · 1634·