第12期 李用江等：一种新的维广义Am0矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 1631° 文献[5]就是一个此类应用的例子.第二阶段是随 维A mo l变换： 机矩阵置乱变换技术.由文献[6首次提出，整数矩 1 阵元素可以充分随机、模数维数呵以任意.文 2 2 到 2 献[6和[2]分别针对二维、三维随机整数矩阵A决 mod N) 定的置乱变换在任意模下的精确周期T及上界 1 n n ; 估计，并构造快速算法.文献[7刀进一步提出了基于 2 n-1 三维随机矩阵变换和Ga置乱变换的二类置乱变 (3) 换技术.虽然随机矩阵置乱变换技术具备随机性、 式中，苍生，∈Z乙 长周期和概率密钥等特点，可有效防止选择明文攻 文献[4所推广的两种维Amod变换如下. 击，增强信息隐藏的安全性，也构造了求周期的快速 定义3Z上的A型n维Amol变换矩阵为 算法，但要构造一个高维的符合置乱变换要求的随 以下以矩阵： 机矩阵是比较困难的. 针对以上问题，本文提出了使用等差数列来构 1 2 1 造一类潍广义Amo变换矩阵，其中公差可作为 A- : (4) 密钥输入使用此类变换矩阵对图像进行图像像素 2 进行置乱，通过逆变换对置乱图像进行恢复：给出了 1 1 2 构造任意维广义Amod变换矩阵和逆变换矩阵 定义4Z上的B型n维Amod变换矩阵为 的快速算法，其算法可减少由置乱图像恢复为原始 以下以矩阵： 图像的迭代次数. bb b b 1 A rold变换及其推广 bb+1 b叶1 b+1 B- 1.1基本Armo变换倒 b b+1 … b叶(n-2) b+(n-2) 定义1设有正方形上的点（x),将点(xy b b1… b叶(n-2) b+(n-1) 变到另一点（バ）的变换为 (5) mod N 式中，为Z上的可逆元. 2基于等差数列的n维广义Amo变换的 (mad N) 1) 构造方法 式中，xZ={0↓2；N-1为N为自然数. 2.1维广义Amol变换矩阵构造方法 此变换A称作二维A mold变换简称Amo变换或 上述的这些AmO推广变换都具有局限性，仍 猫映射 属于规则矩阵.下面给出一种输入密码的可定制的 1.2二维广义Arno l变换 推广的高维A mold变换构造方法. 文献[9]将A mo ld变换推广为二维广义AmoH 定理设有一个等差序列{4}，4=(n一 变换.设有二维空间Z×Z中的点(，x),将点 (x通过下式变换为另一点(y): 1)d什1其中妫整数少3则由4。；气可 a 以构造一个维广义Amo变换， mod N)= 证明下面分别给出三维和维广义Amod 变换的构造方法. (madN) (2) (1当=3时，可以得到 式中，p,Sdxy均为整数，且|C=士1变 0 0 换C称作二维广义Amold变换. 0 (6 1.3n维Amo变换 一1 0 文献[3]把基本的Amol变换推广到了维 A mol变换，定义如下. 令G= 1 0 定义2对于给定的正整数？下列变换称为· 0-1 一1第 12期 李用江等:一种新的 n维广义 Arnold矩阵构造方法及其在图像置乱中的应用 文献[ 5]就是一个此类应用的例子 .第二阶段是随 机矩阵置乱变换技术 .由文献 [ 6]首次提出, 整数矩 阵元素可以充分随机 、模数 N维数 n可以任意.文 献 [ 6]和 [ 2]分别针对二维、三维随机整数矩阵 A决 定的置乱变换在任意模 N下的精确周期 T及上界 估计, 并构造快速算法 .文献 [ 7]进一步提出了基于 三维随机矩阵变换和 Gray置乱变换的二类置乱变 换技术 .虽然随机矩阵置乱变换技术具备随机性 、 长周期和概率密钥等特点, 可有效防止选择明文攻 击, 增强信息隐藏的安全性, 也构造了求周期的快速 算法, 但要构造一个高维的符合置乱变换要求的随 机矩阵是比较困难的 . 针对以上问题, 本文提出了使用等差数列来构 造一类 n维广义 Arnold变换矩阵, 其中公差可作为 密钥输入, 使用此类变换矩阵对图像进行图像像素 进行置乱, 通过逆变换对置乱图像进行恢复;给出了 构造任意 n维广义 Arnold变换矩阵和逆变换矩阵 的快速算法, 其算法可减少由置乱图像恢复为原始 图像的迭代次数 . 1 Arnold变换及其推广 1.1 基本 Arnold变换 [ 8] 定义 1 设有正方形上的点 ( x, y), 将点 ( x, y) 变到另一点 ( x′, y′) 的变换为 x′ y′ = 1 1 1 2 x y ( modN) = A x y (modN) ( 1) 式中, x, y∈ ZN ={0, 1, 2, …, N-1};N为自然数 . 此变换 A称作二维 Arnold变换, 简称 Arnold变换或 猫映射 [ 3] . 1.2 二维广义 Arnold变换 文献[ 9]将 Arnold变换推广为二维广义 Arnold 变换.设有二维空间 ZN ×ZN 中的点 ( x, y), 将点 ( x, y)通过下式变换为另一点 ( x′, y′) : x′ y′ = a b c d x y ( modN) = C x y (modN) ( 2) 式中, a, b, c, d, x, y, x′, y′均为整数, 且 C =±1.变 换 C称作二维广义 Arnold变换. 1.3 n维 Arnold变换 文献 [ 3] 把基本的 Arnold变换推广到了 n维 Arnold变换, 定义如下. 定义 2 对于给定的正整数 n, 下列变换称为 n 维 Arnold变换 : x1′ x2′  xn′ = 1 1 … 1 1 1 2 … 2 2     1 2 … n-1 n-1 1 2 … n-1 n x1 x2  xn ( modN) ( 3) 式中, x1, x2, …, xn∈ ZN. 文献 [ 4]所推广的两种 n维 Arnold变换如下 . 定义 3 ZN 上的 A型 n维 Arnold变换矩阵为 以下 n×n矩阵: A= 1 1 … 1 1 1 2 … 1 1     1 1 … 2 1 1 1 … 1 2 ( 4) 定义 4 ZN 上的 B型 n维 Arnold变换矩阵为 以下 n×n矩阵: B= b b … b b b b+1 … b+1 b+1     b b+1 … b+(n-2) b+( n-2) b b+1 … b+(n-2) b+( n-1) ( 5) 式中, b为 ZN上的可逆元 . 2 基于等差数列的 n维广义 Arnold变换的 构造方法 2.1 n维广义 Arnold变换矩阵构造方法 上述的这些 Arnold推广变换都具有局限性, 仍 属于规则矩阵 .下面给出一种输入密码的可定制的 推广的高维 Arnold变换构造方法. 定理 设有一个 等差序列 {an}, an =(n- 1)d+1, 其中 d为整数, n≥3, 则由 a1, a2, …, an可 以构造一个 n维广义 Arnold变换 . 证明 下面分别给出三维和 n维广义 Arnold 变换的构造方法. ( 1)当 n=3时, 可以得到 0 0 1 0 1 -d 1 -1 -d a3 a2 a1 = 1 1 0 ( 6) 令 G3 = 1 1 1 1 1 0 0 -1 -1 , A3 = 0 0 1 0 1 -d 1 -1 -d , · 1631·