4.用定义证明：函数f)=x2在【-1,1)一致连续 证明：e>0,x1,x2∈-1,1]要使 /x)-f(x2训=c-x=l(x1-x2)(x1+2l≤(（0rl+z20lx1-x2≤2x1-x2<e 装林 ,sir在0，刊（或，O)可导.所以由Lagrange中值定理知 道∈(0，x)(或（红，0）)使得 isnx-sin0=(sinx)1=(x-0)→sinx=(cos)x→|sin=|cos≤lzl, 装 即，对一切xeR有|sinx≤l 订 线 林林林 内 答 订林 题 无 效 数学分析()试题第7页（共8页）C æ Ç S â K à  ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** æ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Ç ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ^½¬y²: ºÍ f(x) = x 2 3 [−1, 1] òóÎY. y²: ∀ > 0, x1, x2 ∈ [−1, 1] ᶠ|f(x1)−f(x2)| = |x 2 1−x 2 2 | = |(x1−x2)(x1+x2)| ≤ (|x1|+|x2|)|x1−x2| ≤ 2|x1−x2| <  §·. )Tÿ™ |x1 − x2| < 1 2 .  δ = 1 2  > 0, K ∀ > 0, ∃δ = 1 2  > 0, x1, x2 ∈ [−1, 1] : |x1 − x2| < δ, k |f(x1) − f(x2)| < , = f(x) = x 2 3 [−1, 1] òóÎY. 5. y²: ÈòÉ x ∈ R k |sin x| ≤ |x|. y²: È ∀x ∈ R, sin x 3 [0, x] (½ [x, 0]) å. §±d Lagrange •ä½n  ∃ξ ∈ (0, x) (½ (x, 0)) ¶ sin x − sin 0 = (sin x) 0 |x=ξ(x − 0) ⇒ sin x = (cos ξ)x ⇒ |sin x| = | cos ξ||x| ≤ |x|, =, ÈòÉ x ∈ R k |sin x| ≤ |x|. ÍÆ©¤ (II) £K 1 7 ê£
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