偏估计量则a为多少？ 分析：由于Y-写X+名x,+X,为u的无偏估计最于是 从而a=2 例3.设总体X服从指数分布，其概率密度为 u8合0 0,其它 其中参数日>0为未知，又设X,X2,.,Xn是总体X的一个样本，试证：刀和 nZ=nmin(X,X2,.,Xn】都是0的无偏估计量. 证因为E()=E(X)=0,所以灭是0的无偏估计量.而Z=mi(X1,X2,. X,)具有概率密度f(c)= e-msle, x>0,故知E(Z)=9,EnZ)=0 其它 n 0, 即nZ也是参数O的无偏估计量. 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量。事实上，在本例中X,X2,“, X,中的每一个都可以作为O的无偏估计量 二、有效性 由引例，E(a)=4,E(2)=4,E()=4,2,均为4的无偏估计量， 究竟哪一个更好？这需要用有效性来判断. 有效性设0=日，(X,X2,.,Xn)与02=0，(X1,X2,Xn)都是0的无偏估 计量，若对于任意日∈⊙，有 D(O)≤D(02) 且至少对于某一个0日上式中的不等号成立，则称日较0，有效. 在引例中，Da)=0,Da)=0,Da)-瓷o2,从面我们易知立 较店有效，2较叫有效，心较山有效. 例4.（续例3）试证当n>1时，日的无偏估计量X较0的无偏估计量nZ有效偏估计量,则 a 为多少? 分析: 由于 Y 1 2 3 6 1 3 1 = X + X + aX 为  的无偏估计量,于是 = + + ) =  6 1 3 1 E(Y) ( a , 从而 2 1 a = . 例 3. 设总体 X 服从指数分布，其概率密度为 f (x ;  )=      − 0,其它 , 0 1 / e x x   其中参数   0 为未知，又设 X1 , X Xn , , 2  是总体 X 的一个样本，试证: X 和 nZ = n [min( X1 , X Xn , , 2  )]都是  的无偏估计量． 证 因为 E(X) = E(X) =  ，所以 X 是  的无偏估计量. 而 Z =min( , , , X1 X2  X n )具有概率密度 ( ; ) fmin x  =      − 0, 其它 , 0 / e x n nx   , 故知 E(Z) = n  ， E(nZ) = . 即 nZ 也是参数  的无偏估计量. 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量. 事实上，在本例中 X1 , X2 ,., X n 中的每一个都可以作为  的无偏估计量． 二、有效性 由引例, E( ˆ 1 ) = , E( ˆ 2 ) =  ,E( ˆ 3 ) =  , 1 2 3  ˆ , ˆ , ˆ 均为  的无偏估计量， 究竟哪一个更好？这需要用有效性来判断． 有效性 设 1 = ˆ  ( , , , ) ˆ 1 X1 X2  Xn 与 2 = ˆ  ( , , , ) ˆ  2 X1 X2  Xn 都是  的无偏估 计量，若对于任意   ，有 ) ˆ ) ( ˆ ( D 1  D  2 且至少对于某一个   上式中的不等号成立，则称 1 ˆ  较 2 ˆ  有效． 在引例中， 2 1 3 5 D( ˆ ) =  , 2 2 2 1 D( ˆ ) =  , 2 3 36 26 D( ˆ ) =  ，从而我们易知 2  ˆ 较 1  ˆ 有效， 2  ˆ 较 3  ˆ 有效， 3  ˆ 较 1  ˆ 有效． 例４．（续例３）试证当 n 1 时，  的无偏估计量 X 较  的无偏估计量 nZ 有效．