如果幕级数∑a,在整个实数轴上收敛，则它的收敛半径R=+0。 开区间（一R风）称为幂级数∑a,”的收敛区间，而幂级数∑a,r的收敛域是（一R,R) (R风，【R)及-R风其中之一 (7)如果函数f(x)在点，的某邻域内具有各阶导数f(x),(x),(x),则 (x-)的幂级数 n-xr一2g-r 称为函数∫x)的泰物级数.特别取x,=0,则级数变为 称此级数为麦克劳林级数 2.定理（性质） (1)AbeI定理 如果幂级数∑a,x当x=x(≠0)时收敛，则适合不等式<k的一切x使这幂级数 绝对收敛：反之，如果幂级数∑a,x当x=x,时发散，则适合不等式>的一切x使这 幂级数发散。 @)设级故字0，知果回p,其中a、是蒂级数空a的相每两顶 的系数，则该幂级数的收敛半径 1 R= D P*0 +,p=0 0,p= 注定理中条件回侣仅仅是求幂级数收敛半径的充分条件，而非必要条件。 (3)幂级数∑a,x的和函数s)在其收敛域1上连续 (4)幂级数工4，的和函数s()在其收敛域/上可积，并有逐项积分公式 st-吃a,r-2a,r=2+r,xeD. 如果幂级数 0 n n n a x  =  在整个实数轴上收敛，则它的收敛半径 R = + ． 开区间 ( , ) −R R 称为幂级数 0 n n n a x  =  的收敛区间，而幂级数 0 n n n a x  =  的收敛域是 ( , ) −R R ， ( , ] −R R ，[ , ) −R R 及 [ , ] −R R 其中之一． （7）如果函数 f x( ) 在点 0 x 的某邻域内具有各阶导数 ( ) ( ), ( ), , ( ), n f x f x f x   ，则 0 ( ) x x − 的幂级数 ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n  + − + − + + − +  = ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n  =  − 称为函数 f x( ) 的泰勒级数．特别取 0 x = 0，则级数变为 ( ) ( ) 2 0 (0) (0) (0) (0) (0) 2! ! ! n n n n n f f f f f x x x x n n  =  + + + + + =   ， 称此级数为麦克劳林级数． 2．定理（性质） （1） Abel 定理 如果幂级数 0 n n n a x  =  当 0 0 x x x =  ( 0) 时收敛，则适合不等式 0 x x  的一切 x 使这幂级数 绝对收敛；反之，如果幂级数 0 n n n a x  =  当 0 x x = 时发散，则适合不等式 0 x x  的一切 x 使这 幂级数发散． （2）设幂级数 0 n n n a x  =  ，如果 1 lim n n n a a  + → = ，其中 n a 、 n 1 a + 是幂级数 0 n n n a x  =  的相邻两项 的系数，则该幂级数的收敛半径 1 , 0 , 0 0 , R         =  +  =    = + ． 注 定理中条件 1 lim n n n a a  + → = 仅仅是求幂级数收敛半径的充分条件，而非必要条件． （3）幂级数 0 n n n a x  =  的和函数 sx( ) 在其收敛域 I 上连续． （4）幂级数 0 n n n a x  =  的和函数 sx( ) 在其收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式 0 ( ) x s x dx  = 0 [ ] x n n o n a x dx  =   = 0 0 x n n n a x dx  =  = 1 0 1 n n n a x n  + = +  ，( ) x I  ．