逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径. (5)幕级数∑a,”的和函数s(x)在其收敛区间(-R)内可导，并有逐项求导公式 sx)=(∑axy=ary=∑m,x，< 逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径. (6)设函数fx)在点x,的某一邻域U:,)内具有各阶导数，则fx)在该邻域内 能民开成春饭数空。一了的充分必要条件是©的春号公式中的余项 R国-x- (n+10 (5是介于x与x,之间的某个值)当n→o时的极限为零，即 IimR(x)=0(x∈U()). (7)如果函数)在点的某一邻域U()内能展开成泰勒级数a.-x广，则a, 是唯一的，即a=a=0.L2 nl 3.方法 (1)幂级数的收敛性判定 8.形如工a,r幂级数，利用阿贝尔定理。 b.对于幂级数∑a,(x-x”,只要令x-x=1,就可以转化为幂级数∑a,再利用 阿贝尔定理求解 c.对于一般函数项级数∑“.()的收敛性判定，通常是把x看成常数，先讨论∑，(x 的收敛性，得到一收敛区间，再讨论该区间端点处的收敛性 (2)幂级数的收敛半径的求法 半径 R= 0,p=0 0 p=+切逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径． （5）幂级数 0 n n n a x  =  的和函数 sx( ) 在其收敛区间 ( , ) −R R 内可导，并有逐项求导公式 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n s x a x a x na x    − = = =  =      = = ，( ) x R ． 逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径． （6） 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某一邻域 0 U x( ) 内具有各阶导数，则 f x( ) 在该邻域内 能展开成泰勒级数 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n  =  − 的充分必要条件是 f x( ) 的泰勒公式中的余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n  + + = − + （  是介于 x 与 0 x 之间的某个值）当 n → 时的极限为零，即 0 lim ( ) 0 ( ( ) ) n n R x x U x → =  ． （7） 如果函数 f x( ) 在点 0 x 的某一邻域 0 U x( ) 内能展开成泰勒级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − ，则 n a 是唯一的，即 ( ) 0 ( ) ( 0,1,2, ) ! n n f x a n n = = ． 3．方法 （1）幂级数的收敛性判定 a．形如 0 n n n a x  =  幂级数，利用阿贝尔定理． b．对于幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − ，只要令 0 x x t − = ，就可以转化为幂级数 0 n n n a t  =  ，再利用 阿贝尔定理求解． c．对于一般函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的收敛性判定，通常是把 x 看成常数，先讨论 1 ( ) n n u x  =  的收敛性，得到一收敛区间，再讨论该区间端点处的收敛性． （2）幂级数的收敛半径的求法 a．对于 0 ( 0,1,2, ) n a n  = 的幂级数 0 n n n a x  =  ，由 1 lim n n n a a  + → = 或 lim n n n a  → = ，得收敛 半径 1 , 0 , 0 0 , R         =  +  =    = + ．