b.对于缺项的幂级数∑4(x),不能用上述公式，而应直接使用函数项级数的比值法 求超限回，或使用限值法求极限四同=小.当<1时，器级数 收敛：当)>1时，幂级数发散，从而根据幂级数收敛半径的定义求得收敛半径R, (3)幂级数的收敛域的求法 求出幂级数的收敛半径R后，再对x=±R时所得常数项级数判定其收敛性，最终求出 收敛域，即区间（←RR),(←R,一RR)和-R网其中之一 (4)幂级数在收敛域内的和函数 a,熟知的一些常用级数的和函数： =-t+lren+-2r产wco 1 1 1 1 osx=l-+r-+l旷2+-2-lヅ2m产（<x<+m -0 功-号+号4r行一空-r行0 n! b.其次要善于利用适当的变量代换、幂级数的代数运算和幂级数在其收敛域内进行的 逐项求导、积分运算，把所讨论级数化成其和函数是己知的幂级数的形式，并求其和： c.然后对应步骤b中所作运算再作相应的逆运算，即可求得原幂级数的和函数： .但要注意，上述运算均应在幂级数的收敛区间内进行，故和函数的后面，必须注明 收敛区间.因此，在求和函数之前要先求收敛域。 (5)利用幂级数求某些常数项级数的和 根据该常数项级数的特点，构造出一个幂级数或几个幂级数的和，使其在收敛域中某 点x的值恰好是这个常数项级数，然后再按照求幂级数和函数的方法求出幂级数的和函数， 最后求出该和函数在，处的值，即得所求常数项级数的和 (6)幂级数的运算 。两个收敛的幂级数相加、相减或相乘，所得幂级数的收敛区间取原来两个幂级数的 收敛区间的公共部分，而相除所得的幂级数的收敛区间则比原来两个幂级数的收敛区间小。 b.对幂级数逐项求导或逐项积分所得的幂级数与原来幂级数有相同的收敛半径R,但 在点x=±R处，幂级数的敛散性可能发生变化，必须重新讨论. (7)函数展开成x的幂级数 b．对于缺项的幂级数 1 ( ) n n u x  =  ，不能用上述公式，而应直接使用函数项级数的比值法 求极限 1 ( ) lim ( ) ( ) n n n u x x u x  + → = ，或使用根值法求极限 lim ( ) ( ) n n n u x x  → = ．当 ( ) 1 x  时，幂级数 收敛；当 ( ) 1 x  时，幂级数发散，从而根据幂级数收敛半径的定义求得收敛半径 R ． （3）幂级数的收敛域的求法 求出幂级数的收敛半径 R 后，再对 x R = 时所得常数项级数判定其收敛性，最终求出 收敛域，即区间 ( , ) −R R ， ( , ] −R R ，[ , ) −R R 和 [ , ] −R R 其中之一． （4）幂级数在收敛域内的和函数 a．熟知的一些常用级数的和函数： 2 0 1 1 1 1 2! ! ! x n n n e x x x x n n  = = + + + + + =  ( ), −   + x 1 1 3 1 2 1 sin ( 1) 3! (2 1)! n n x x x x n − − = − + + − + − 1 1 1 1 2 ( 1) ( ) (2 , 1)! n n n x x n  = − − = −  −  + −  1 1 1 2 4 2 cos 1 ( 1) 2! 4! (2 )! n n x x x x n = − + − + − + 0 1 2 ( 1) (2 )! n n n x n  = =  − ( ), −   + x 2 0 1 1 1 1 1 n n n x x x x x x  = = + + + + + =   −  (- ), 2 3 1 1 0 ln(1 ) ( 1) ( 1) ( 1 1), 2 3 1 1 n n n n n x x x x x x x n n + +  = + = − + − + − + = − −   + +  2 ( 1) ( 1).( 1) (1 ) 1 1 1 2! ! m n m m m m m n x mx x x x n − − − + + = + + + + +   (- )． b．其次要善于利用适当的变量代换、幂级数的代数运算和幂级数在其收敛域内进行的 逐项求导、积分运算，把所讨论级数化成其和函数是已知的幂级数的形式，并求其和； c．然后对应步骤 b 中所作运算再作相应的逆运算，即可求得原幂级数的和函数； d．但要注意，上述运算均应在幂级数的收敛区间内进行，故和函数的后面，必须注明 收敛区间．因此，在求和函数之前要先求收敛域． （5）利用幂级数求某些常数项级数的和 根据该常数项级数的特点，构造出一个幂级数或几个幂级数的和，使其在收敛域中某一 点 0 x 的值恰好是这个常数项级数，然后再按照求幂级数和函数的方法求出幂级数的和函数， 最后求出该和函数在 0 x 处的值，即得所求常数项级数的和． （6）幂级数的运算 a．两个收敛的幂级数相加、相减或相乘，所得幂级数的收敛区间取原来两个幂级数的 收敛区间的公共部分，而相除所得的幂级数的收敛区间则比原来两个幂级数的收敛区间小． b．对幂级数逐项求导或逐项积分所得的幂级数与原来幂级数有相同的收敛半径 R ，但 在点 x R = 处，幂级数的敛散性可能发生变化，必须重新讨论． （7）函数展开成 x 的幂级数