fo xf(2、h力J(u)h=2(3分) d x= lin 丌 2+2 4 3、解:令f(x)=∑x”,由于级数的收敛域[-11)(2分),f(x)=∑x 01 d=h(1-x)(2分),令 ∑ (-1) =hn 2 解:两边对x求导z (3分) 2x a 0(3分) 5、解:0 Kx(5分) =0(1分) x +y 由于x-2,x2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分) 三、1、解、fx(0,0)=lm f(0+△x)-f(0,0) im=0,同理f,(00)=0(4分), △x →0△x 又但沿直线y=mx趋于(0,0),imf(x,y)= ,所以lim x不存在, 1+m (x,y)+(0,0)x2+ 也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分) 2、解:由于m(-D2x 2sim2x(3分),即2sn2x<1级数绝对收敛 n 2sin2x=1条件收敛,2sn2x>1级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:因为S(x)→>S(x)=0(2分,因为Sn(x)-S(x)= 分),VE>0,取N=,当n>N时,|Sn(x)-S(x)≤<E,对一切x∈(-m2+∞) 2 成立,所以{Sn1(x)}在(一∞,+∞)上一致收敛(4分)6 二 、 1 、   + = + + 2 0 2 2 2 0 2 (2 1) (2 1) 2 1 x f (2x 1)dx f x d x （ 3 分）令 2 1 2 u = x + ，   + = = 9 1 2 0 2 ( ) 2 2 1 xf (2x 1)dx f u du （3 分） 2、 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x = 4 (1 ) lim arctan(1 ) 1 (1 ) 1 lim 0 0 2  + = + = →+ + + →  A A A A d x x x （6 分） 3、解：令 f (x) =  =1 1 n n x n ，由于级数的收敛域 [−1,1) （2 分）， ( ) ' f x = x x n n −  =  = − 1 1 1 1 ， f (x) = ln(1 ) 1 1 0 dt x t x = − −  （2 分），令 x = −1 ，得 ln 2 ( 1) 1 = −   n= n n 4、解：两边对 x 求导 2 1 1 x z x + = , 2 1 1 y z y + = （3 分） , 0 (1 ) 2 , (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =    + − =   + − =   x y z y y y z x x x z （3 分） 5、解： x x y x y  + 0 | | 2 2 2 （5 分） lim 0 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x （1 分） 由于 x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分） 三、1、解、 0 0 lim (0 ) (0,0) (0,0) lim 0 0 =  =  +  − =  → x  → x f x f f x x x ，同理 f y (0,0) = 0 （4 分）， 又但沿直线 y = mx 趋于（0，0）， 2 0 1 lim ( , ) m m f x y y mx x + = = → ，所以 2 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + 不存在， 也即函数在（0，0）点不连续，（4 分），因而函数在（0，0）点也不可微（2 分） 2、解：由于 x n x n n n n n 2 2 1 | 2sin 2 sin lim | (−1) = + → （3 分），即 2sin 1 2 x  级数绝对收敛 2sin 1 2 x = 条件收敛， 2sin 1 2 x  级数发散（7 分） 所以原级数发散（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：因为 Sn (x) → S(x) = 0 （2 分），因为 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2  + − = ，（4 分），   0 ，取       = 2 1 N ，当 n  N 时， −    n S x S x n 2 1 ( ) ( ) ，对一切 x (−,+) 成立，所以 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛（4 分）