是d12=u13Au32.但是u是反对称的,所以u32=-23.这里a13Au23就 是ac-b2,也就是Gaus曲率.所以我就得到公式 du12=-Ku1∧u2, 其中,K是 GaussI曲率.这是一个令Gass非常惊讶的公式.所以Gaus把这 个定理叫做 Theorem egregious, egregious是拉丁字母,意思指这是一个了 不得的定理.为什么呢?它证明了 Gauss|率只跟曲面的 Riemann度量有 关,跟这个曲面在空间的位置无关.因为在这个公式里头,12已经证明 了只跟曲面的 Riemann度量有关.然后1Aw就是在这个度量下的面积元 素,当然只跟ds2有关,即只跟 RiemanN度量有关.所以虽然Gas率是 个曲面在空间里头的一个不变式,但是它只跟曲面的 Riemann度量有关 换句话说,你把曲面变换( deform)一下子,使得 Riemann度量不变, Gauss 率就不变.所以Gaus率有这么重要的性质.我想Gaus做了许多要紧 的和漂亮的结果,这个定理显然是他特别欣赏的一个结果,是很特别的 个结果.实际上,我们就把这些方程用外微分微分一下子,得到基本公 式,然后就得到这些公式.下次,我要讲由这个公式证明 Gauss-Bonnet公 式. Gauss.- Bonnet公式是推广三角形三角之和等于180°,将这个公式推广到 曲面的情形. Gauss-Bonnet公式的应用非常之广.证明的时候,我始终利 用圆丛.这圆丛稍微用得复杂一些:假定这个丛是一个复的线从( complex line).那么这个复线丛的纤维是条复线,在复线里头,绝对值等于1的复数 是一个圆周,就是圆丛.这个观念在物理上是基本的.现在大家搞得很多 的是辛几何( symplectic geometry).单有辛结构( symplectic structure)不太 有用,你要把辛几何用到量子力学的话,需要加上一个复线丛,就是我们 现在所讲的东西的一个推广.我们现在讲2维,一到物理的话,空间与时间 加在一起是4维,所以你基本的空间是4维,在4维空间当中有一个复线丛 因此就得到这个Gaus曲率.现在这个曲率是2次微分式,它d一下子等于0, 就得到 Maxwel方程.所以微积分在几何上应用是许多物理的基础.最近 我在《科学》杂志上写了一篇文章,叫做《 Gauss-Bonnet公式与 Maxwell方 程》,你们如果能找到,可以去看一看.我想把这篇文章拿来给大家,但是 10✹dω12 = ω13 ∧ ω32. ❜✹ω✹✬é➪④, ➘✶ω32 = −ω23. ❨➦ω13 ∧ ω23 Ò ✹ac − b 2 , ✎Ò✹Gauss▼●. ➘✶➲Ò③tÚ✯ dω12 = −Kω1 ∧ ω2, (4.22) Ù➙, K✹Gauss▼●. ❨✹✘➬✌Gauss ✿➒➥➬④Ú✯. ➘✶Gauss➨❨ ➬➼➤✇✮Theorem Egregious, Egregious✹♥➯✠ñ, ❄❻➁❨✹✘➬ê ❳③④➼➤. ➃✤➃✑? ➬②ÒêGauss▼●➄❐▼➪④Riemann ÝÞ❿ ✞, ❐❨➬▼➪ó✽✲④➔➌➹✞. ❖➃ó❨➬Ú✯➦❃, ω12✳➨②Ò ê➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ❧⑨ω1 ∧ ω2Ò✹ó❨➬ÝÞ✆④➪è➹ ↔, ❤❧➄❐ds2❿✞, ý➄❐RiemannÝÞ❿✞. ➘✶➥❧Gauss▼●✹✘ ➬▼➪ó✽✲➦❃④✘➬❳★✯, ❜✹➬➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ➛é➏⑨, ✜➨▼➪★➛(deform)✘✆✝, ✫③RiemannÝÞ❳★, Gauss▼ ●Ò❳★. ➘✶Gauss▼●❿❨➃➢✞④✉➓. ➲✳Gau ss✮ê➂õ✞➏ ④❩↕à④❼✯, ❨➬➼➤✗❧✹➷✁✴❛Ü④✘➬❼✯, ✹✐✁✴④ ✘➬❼✯. ✧✓Þ, ➲➣Ò➨❨❏✵➬⑦✐❻■❻■✘✆✝, ③täýÚ ✯, ❧⑨Ò③t❨❏Ú✯. ✆✬, ➲✞❨❸❨➬Ú✯②ÒGauss-BonnetÚ ✯. Gauss-BonnetÚ✯✹▼✒➤♥♦➤♥❷❩⑧➉180o , ❘❨➬Ú✯▼✒t ▼➪④❁♦. Gauss-BonnetÚ✯④❛⑦✿➒❷✒. ②Ò④✣⑧, ➲✮➟➻ ⑦❐✲. ❨❐✲ã❻⑦③❹ì✘❏: ✧➼❨➬✲✹✘➬❹④✧✲(complex line). ￾➃❨➬❹✧✲④✍➅✹✣❹✧, ó❹✧➦❃, ýé❾⑧➉1④❹❥ ✹✘➬❐➧, Ò✹❐✲. ❨➬✡✬óÔ➤Þ✹äý④. ✙ó▲✛➫③✐õ ④✹❜✁❬( symplectic geometry). ❭❿❜❼è(symplectic structure)❳Ô ❿⑦, ✜✞➨❜✁❬⑦tÞ✝➴➛④➏, ❽✞✜Þ✘➬❹✧✲, Ò✹➲➣ ✙ó➘❨④➚Ü④✘➬▼✒. ➲➣✙ó❨2➅, ✘tÔ➤④➏, ✽✲➛✣✲ ✜ó✘å✹4➅, ➘✶✜äý④✽✲✹4➅, ó4 ➅✽✲❤➙❿✘➬❹✧✲. ❖✩Ò③t❨➬Gauss ▼●. ✙ó❨➬▼●✹2✬❻■✯, ➬d✘✆✝⑧➉0, Ò③tMaxwell✵➬. ➘✶❻è■ó✁❬Þ❛⑦✹➂õÔ➤④äú. ✦↔ ➲ó✕✮➛✖ì➇Þ❯ê✘➓➞✾, ✇✮✕Gauss-BonnetÚ✯➛Maxwell✵ ➬✖, ✜➣➌✯✕■t, ✱✶❱✗✘✗. ➲✳➨❨➓➞✾ü✉➱▲✛, ❜✹ 10