是u+∞2那么,我也可以对e3这它矢量取-(de3,dx).照我刚才所写的, 就等于au2+2b12+c2,这也是一它2次微分式.这它一动叫做第二基本 式.那么有一它第一基本式,还有它第二基本式,你就取,的特征值.特征 值的和就是a+c,特征值的积就是ac-b2.一动地,H="叫做曲面的中 曲率,K=aC-b2叫做曲面的Gaus曲率.这里要紧极了,Gaus率有许 倍有趣的来质.因此这是怎么样从5它一次微分式由,们的线来你单的关系 就得到曲面的不变式.中曲率跟Gaus曲率这两它不变式描写曲面的几何 来质.比方说,可以证明Gass曲率是正的话,曲面是在的,Gaus率是有 的话,曲面就有第点,就象马第点.许倍几何来质都可以用这两它曲率来描 写,所以是曲面里头两它最主要的不变式.这它不变式是情数.以后我们 得到的是一次微分式,而一次微分式不大容易想象所竟是什么意思,交由 的运算可以得出情数来.这情数确然是了解得比较空楚,便得到中曲率 跟 Gauss曲率.中曲率等于0,一动叫做极小曲面.所谓的极小曲面,举例就 是你把一条封闭的曲线放在肥子水里头所成的曲面就是面积最小的曲面 ,的中曲率为0.所以这有简全的几何意义,最素,甚至现在都有很倍关于极 小曲面的研所.Gaus曲率更要紧, Gauss l|率是等于u13∧w23.在曲面量也 样有Gaus映射.曲面每点有一它全位法矢量,把这它全位法矢量看为 它半径为1的球面的点,就把曲面映射到球面量书了.每它点有一它全位法 矢量,你在0点画一它全位法矢量跟,平行,的端点就在全位球面量.那么 对于所有的点都做这它少下的话,就在全位球面量得到一它区域。在这它映 射下,两它面积元素的比,即,的像 imag e)的面积元素跟原来面积元素的 比就是Gaus曲率.这样一下子就看出来了.所以这它Gaus曲率有很简全 的几何意义.这时,曲面的讨论是一它推垂.曲面的时候有曲线,曲线也有 它Gaus映射.那它Gaus映射是取全位切矢量,其实也可以取全位法矢量 那么曲线的时候,Gaus映射把切线映射到全位圆量头,把全位圆的度量被 原来这它度量除就是曲率.现在就把这它观念推垂到高维,推垂到2维,即推 垂到曲面,所以我由这它曲面Gaus映射到一它全位球面量头,这两它面积 的比就是Gaus)曲率.所以这是一它非常自然的几何度量.现在有它很要紧 的关系.量头有duik=wi∧山k,现在我把这它公式用到i2,,k=1,2,于✹ω 2 1 + ω 2 2 . ￾➃, ➲✎✱✶ée3❨➬✪Þ❘−(de3, dx). ▲➲➛❜➘❯④, ➬ Ò⑧➉aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 , ❨✎✹✘➬2✬❻■✯. ❨➬✘➘✇✮➅✓äý ✯. ￾➃❿✘➬➅✘äý✯, ↕❿➬➅✓äý✯, ✜Ò❘➬④✁♥❾. ✁♥ ❾④❩Ò✹a + c, ✁♥❾④èÒ✹ac − b 2 . ✘➘➃, H = a+c 2 ✇✮▼➪④➙ ▼●, K = ac − b 2 ✇✮▼➪④Gauss▼●. ❨➦✞➏ôê, Gauss▼●❿➂ õ❿❯④✉➓. ❖✩❨✹✍➃ø✱5➬✘✬❻■✯❸➬➣④✧✉✜❭④✞ø Ò③t▼➪④❳★✯. ➙▼●❐Gauss▼●❨Ü➬❳★✯➹❯▼➪④✁❬ ✉➓. ✞✵⑨, ✱✶②ÒGauss ▼●✹t④➏, ▼➪✹ó④, Gauss▼●✹❿ ④➏, ▼➪Ò❿➅➎, Ò✻❥➅➎. ➂õ✁❬✉➓Ñ✱✶⑦❨Ü➬▼●✉➹ ❯, ➘✶✹▼➪➦❃Ü➬✦❒✞④❳★✯. ❨➬❳★✯✹❁❥. ✶⑨➲➣ ③t④✹✘✬❻■✯, ✌✘✬❻■✯❳▲➂✹✳✻➘➽✹✤➃❄❻, ❜❸ ➬④ä➤✱✶③ñ❁❥✉. ❨❁❥❤❧✹ê❽③✞✈✽ù, ✧③t➙▼● ❐Gauss ▼●. ➙▼●⑧➉0, ✘➘✇✮ô❇▼➪. ➘➣④ô❇▼➪, Þ➽Ò ✹✜➨✘✣❯✔④▼✧✽ó❂✝②➦❃➘➘④▼➪Ò✹➪è✦❇④▼➪, ➬④➙▼●➃0. ➘✶❨❿❀❭④✁❬❄❇, ✦↔, ☎➊✙óÑ❿✐õ✞➉ô ❇▼➪④Ï➘. Gauss▼●❮✞➏, Gauss▼●✹⑧➉ω13 ∧ ω23. ó▼➪Þ✎ ✘ø❿Gauss♥ó. ▼➪➎➎❿✘➬❭➔✛✪Þ, ➨❨➬❭➔✛✪Þ✗➃✘ ➬❒➺➃1 ④❊➪④➎, Ò➨▼➪♥ót❊➪Þ❱ê. ➎➬➎❿✘➬❭➔✛ ✪Þ, ✜ó0➎➌✘➬❭➔✛✪Þ❐➬➨q, ➬④à➎Òó❭➔❊➪Þ. ￾➃ é➉➘❿④➎Ñ✮❨➬è✆④➏, Òó❭➔❊➪Þ③t✘➬❑➢. ó❨➬♥ ó✆, Ü➬➪è➹↔④✞, ý➬④✹(imag e)④➪è➹↔❐➷✉➪è➹↔④ ✞Ò✹Gauss ▼●. ❨ø✘✆✝Ò✗ñ✉ê. ➘✶❨➬Gauss▼●❿✐❀❭ ④✁❬❄❇. ❨✣, ▼➪④ÿ❳✹✘➬▼✒. ▼➪④✣⑧❿▼✧, ▼✧✎❿✘ ➬Gauss♥ó. ￾➬Gauss♥ó✹❘❭➔★✪Þ, Ù✧✎✱✶❘❭➔✛✪Þ. ￾➃▼✧④✣⑧, Gauss♥ó➨★✧♥ót❭➔❐Þ❃, ➨❭➔❐④ÝÞú ➷✉❨➬ÝÞøÒ✹▼●. ✙óÒ➨❨➬✡✬▼✒t➦➅, ▼✒t2➅, ý▼ ✒t▼➪, ➘✶➲❸❨➬▼➪Gauss♥ót✘➬❭➔❊➪Þ❃, ❨Ü➬➪è ④✞Ò✹Gauss▼●. ➘✶❨✹✘➬✿➒✞❧④✁❬ÝÞ. ✙ó❿➬✐✞➏ ④✞ø. Þ❃❿dωik = ωij ∧ ωjk, ✙ó➲➨❨➬Ú✯⑦tω12, i, k = 1, 2, ➉ 9