有一项,所以你就得到 du13=12∧u23 (4.17) 同临可以得到 d 这些一般就是所谓的 Weingarten公果,非常简单.所以这些公果都是可简单 的外微分立即得到的. Weingarten公果很有并思,你关它跟乘来的u1,w2的 公果比较的话,完全是一个形状,即注并到这些公果与公果(4.10)相似这个 形状是有几何并义的,现在它用来定所谓的 Betti Transform ation,这个我不 细讲惜. Weingarten公果跟乘来du的公果的相似来是有深通的几何并义的 3曲面的基本不变式 上面我讨论惜De1的Levi- Civita平行来.如果取这个且量在e3这个方向的 话,我就得到1A13+2Au23=0,即公果(411).因此,u13,23都是u1,2 的线来组合,我可以趣成 u13=au1+bu2,u23 由这个我得到这个曲面的关紧的不变果.一个曲面与另一个曲面有什么分 别?这个分别在于曲率.曲率是曲面上的函数.比方后,一般的话,我们用维 基本果跟维二基本果来表示 维一基本果I 维二基本果I1=(-dx,de)=au2+2bu2+cu2.(421) 对于维一基本果,我叫它(1)它就是曲面的ds2=(dx,dx).由于d ue1+ onega2e2,但是e1,e2是互相垂直的单位且量,所以就得到+u2 因此这5个一次微分果都有重关的几何并义.1,吨2的平方和就是曲面的 度量.在3又空间里头,曲面当然有一个度量,那么它的度量是什么呢?就 是它的 Riemann度量,是一个2次的微分果.这个2次微分果简单极惜,就❿✘✶, ➘✶✜Ò③t dω13 = ω12 ∧ ω23. (4.17) ✸ø✱✶③t dω23 = −ω12 ∧ ω13. (4.18) ❨❏✘➘Ò✹➘➣④WeingartenÚ✯, ✿➒❀❭. ➘✶❨❏Ú✯Ñ✹✱❀❭ ④✐❻■➪ý③t④. WeingartenÚ✯✐❿❄❻, ✜✞➬❐➷✉④ω1, ω2④ Ú✯✞✈④➏, q❭✹✘➬♦ç, ýÕ❄t❨❏Ú✯➛Ú✯(4.10) ★➅. ❨➬ ♦ç✹❿✁❬❄❇④, ✙ó➬⑦✉➼➘➣④Betti Transform ation, ❨➬➲❳ û❨ê. WeingartenÚ✯❐➷✉dωi④Ú✯④★➅✉✹❿ý✴④✁❬❄❇④. 3 ▼➪④äý❳★✯ Þ➪➲ÿ❳êDe1④Levi-Civita ➨q✉. ➌✯❘❨➬✪Þóe3❨➬✵✺④ ➏, ➲Ò③tω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = 0, ýÚ✯(4.1 1). ❖✩, ω13, ω23Ñ✹ω1, ω2 ④✧✉✜❭, ➲✱✶❯➘ ω13 = aω1 + bω2, ω23 = bω1 + cω2. (4.19) ❸❨➬➲③t❨➬▼➪④✞➏④❳★✯. ✘➬▼➪➛☞✘➬▼➪❿✤➃■ ✴? ❨➬■✴ó➉▼●. ▼●✹▼➪Þ④❁❥. ✞✵⑨, ✘➘④➏, ➲➣⑦➅ ✘äý✯❐➅✓äý✯✉✱✰: ➅✘äý✯ I = ds2 = (dx, dx) = ω 2 1 + ω 2 2 ; (4.20) ➅✓äý✯ II = (−dx, de3) = aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 . (4.21) é➉➅✘äý✯, ➲✇➬(I).➬Ò✹▼➪④ds2 = (dx, dx). ❸➉dx = ω1e1 + omega2e2, ❜✹e1, e2✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➘✶Ò③tω 2 1 + ω 2 2 . ❖✩ω❨5➬✘✬❻■✯Ñ❿➢✞④✁❬❄❇. ω1, ω2 ④➨✵❩Ò✹▼➪④ ÝÞ. ó3➅✽✲➦❃, ▼➪❤❧❿✘➬ÝÞ, ￾➃➬④ÝÞ✹✤➃✑? Ò ✹➬④Riemann ÝÞ, ✹✘➬2✬④❻■✯. ❨➬2✬❻■✯❀❭ôê, Ò 8