这是照我刚才证明的是由几何完全确定的,这是因为12是完全确定的线 使De1=0的话,我明说这个矢量是 Levi-Civita意义下平行,即我说在这种情 形下它明是平行的.它是平行的,这是有新的意义在 Euclid儿何的时候,这 明是普通平行,现在是普通平行的推广,也明是De1=0时是 Levi-Civita平 行.所以在曲面上,你用一次微分式,学管这个平行比较难懂.令De1=0的 话,对于矢量是个微分方程.这个微分方程不一定有解,但是线使你有一条 曲线,你明可以沿着这条曲线求解.对于曲线来说,所有的这些函数都是t的 函数.沿着这条曲线求解,可以求到解.至于这个条件,我说这个矢量明 是Levi- Civita平行.所以从这个定义可以了解这个平行性跟曲线的选择有 比.线使有一个点,另外还有一点,那么你联这两点有两条不同的曲线,你把 同一个矢量沿头一条曲线平行,并沿第二条曲线平行,看到的一般不是同 个矢量.至于这个平行性与曲线的选择有比系,是普通的平行性的推广.普 通的时候,平行性在 Euclid平面里上是绝对的和定了的,现在这个时候是跟 曲线的选择有比系,这明是联络.我刚才把x这个矢量d两次等于0.而同着 的,我可以对e这个矢量也d两次,即d(de)=0.因此算出来d(de)=0.,明 有: duiy=ik∧wkj 415) 实际上,很简单地,我对d=e求微分.然后因为是一次微分式,所以 应该有个负号,即负的山∧deg,于是有 d(dei)=dwijei-wij A dej=0 但是de;=ukek,所以头一个duve;改为 dikey没有比系,这是因为你对 于j,k是求和,可写成j,也可写成k,都是从1到3,无所谓的.因此明得到 公式(4.15).这是一个基本的公式,看着麻烦,其实很简单.尤其是在3维 的情形,很简单.实际上,右边讲起来是3项之和,但是这3项是对于j求 和.因为是反对称的,所以我们来看k,≠k,或者明来看看u13.在下 面那个公式看 d omega13应该是心j3,但是实际上,j只能等于2,这是因 为j=1时11=0,j=3时u3=0.所以右边看着是这么着之和,其实明只 7❨✹▲➲➛❜②Ò④✹❸✁❬q❭❤➼④, ❨✹❖➃ω12✹q❭❤➼④. ✧ ✫De1 = 0④➏, ➲Ò⑨❨➬✪Þ✹Levi-Civita❄❇✆➨q, ý➲⑨ó❨➠❁ ♦✆➬Ò✹➨q④. ➬✹➨q④, ❨✹❿❝④❄❇. óEuclid ✁❬④✣⑧, ❨ Ò✹✃✴➨q, ✙ó✹✃✴➨q④▼✒, ✎Ò✹De1 = 0✣✹Levi-Civita➨ q. ➘✶ó▼➪Þ, ✜⑦✘✬❻■✯, ➛☛❨➬➨q✞✈✡➹. ✌De1 = 0④ ➏, é➉✪Þ✹➬❻■✵➬. ❨➬❻■✵➬❳✘➼❿❽, ❜✹✧✫✜❿✘✣ ▼✧, ✜Ò✱✶×ø❨✣▼✧❋❽. é➉▼✧✉⑨, ➘❿④❨❏❁❥Ñ✹t④ ❁❥. ×ø❨✣▼✧❋❽, ✱✶❋t❽. ➊➉❨➬✣●, ➲⑨❨➬✪ÞÒ ✹Levi-Civita ➨q. ➘✶✱❨➬➼❇✱✶ê❽❨➬➨q✉❐▼✧④➔✡❿ ✞. ✧✫❿✘➬➎, ☞✐↕❿✘➎, ￾➃✜➱❨Ü➎❿Ü✣❳✸④▼✧, ✜➨ ✸✘➬✪Þ×❃✘✣▼✧➨q, ❄×➅✓✣▼✧➨q, ✗t④✘➘❳✹✸✘ ➬✪Þ. ➊➉❨➬➨q✉➛▼✧④➔✡❿✞ø, ✹✃✴④➨q✉④▼✒. ✃ ✴④✣⑧, ➨q✉óEuclid ➨➪➦Þ✹ýé④❩➼ê④, ✙ó❨➬✣⑧✹❐ ▼✧④➔✡❿✞ø, ❨Ò✹➱❞. ➲➛❜➨x ❨➬✪ÞdÜ✬⑧➉0. ✌✸ø ④, ➲✱✶éei❨➬✪Þ✎d Ü✬, ýd(dei) = 0. ❖✩➤ñ✉d(dei) = 0, Ò ❿: dωij = ωik ∧ ωkj . (4.15) ✧✓Þ, ✐❀❭➃, ➲édei = ωijej ❋❻■. ❧⑨❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ➘✶ ❛➈❿➬❿❘, ý❿④ωij ∧ dej , ➉✹❿ d(dei) = dωijej − ωij ∧ dej = 0. (4.16) ❜✹dej = ωjkek, ➘✶❃✘➬dωijej➉➃dωikek ➊❿✞ø, ❨✹❖➃✜é ➉j, k✹❋❩, ✱❯➘j, ✎✱❯➘k, Ñ✹✱1t3, ➹➘➣④. ❖✩Ò③t Ú✯(4.15). ❨✹✘➬äý④Ú✯, ✗ø❢✫, Ù✧✐❀❭. ❷Ù✹ó3➅ ④❁♦, ✐❀❭. ✧✓Þ, ➁✣❨å✉✹3✶❷❩, ❜✹❨3✶✹é➉j ❋ ❩. ❖➃ω ✹✬é➪④, ➘✶➲➣✉✗ωik, i 6= k, Ý❱Ò✉✗✗ω13. ó✆ ➪￾➬Ú✯✗d omega13 ❛➈✹ω1jωj3, ❜✹✧✓Þ, j➄✕⑧➉2, ❨✹❖ ➃j = 1✣ω11 = 0, j = 3 ✣ω33 = 0. ➘✶➁✣✗ø✹❨➃ø❷❩, Ù✧Ò➄ 7