第十二章重积分 6.求三重积分 =J/gy+,其中 0≤2 x,) z≤√x2 解:由函数与域的对称性; ∫(xy+h==b 球坐标系:1=订2h=1mpb=; 柱坐标系:1=Jd0jp∫z=; 8 直角坐标系:=∫∫d Ed=t 先对xy积分 1=h=x=在+=如 .设∫:gcR3→R,f∈C"(g), 是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Mar((P)P∈s,vP∈|gud川≤M, 证明:=顶/(xy知≤4+4M, 其中,;V是域Ω的体积,VP∈s,彐P∈S。 证:f(x,y,=)=f(P)+ o/(P) ∂(x,y f(x,y, =)dv=II(Po 2) +igra 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 7. 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0 