念、实二次型的规范形的唯性 教学重点：正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念、实二次型的规范形的唯一性 教学方法讲授法 教学过程 由上节的讨论知，任一二次型的矩阵必与一个对角形矩阵合同由第四章$4定理4.合同的矩阵有相 同的秩因此，经过非退化线性替换，二次型矩阵的秩不变由于标准形的矩阵是对角矩阵，而对角形矩阵 的秩等于它的对角线上为零的元素的个数所以，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方次的个 数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关二次型矩阵的秩就称为二次型的秩 但是，二次型的标准形并不唯一比如上一节的例子，二次型2x5-6x,+2x经过线性替换 x）113)w 化为标准形 2w2-2w+6w, 而经过线性替换 (互00 √5√235 2 2 x 2 /0② 13 01-1-1 x 600以g 2 00 6 0 0 6 化为另一个标准形 -+ 这就说明，在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，它与所作的非退化线性替换有关 下面仅就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性问题， 设f(x,2,.,x)是一个复系数的二次型.由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， f(x,2,.,x)变成标准形，不妨设它的标准形是 dy+d2+.+dyd,≠0，i=l,2,.,r 再作一非退化线性替换念、实二次型的规范形的唯一性. 教学重点: 正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念、实二次型的规范形的唯一性. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 由上节的讨论知,任一二次型的矩阵必与一个对角形矩阵合同.由第四章§4 定理 4.合同的矩阵有相 同的秩.因此,经过非退化线性替换,二次型矩阵的秩不变.由于标准形的矩阵是对角矩阵,而对角形矩阵 的秩等于它的对角线上为零的元素的个数.所以,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方次的个 数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩就称为二次型的秩. 但是,二次型的标准形并不唯一.比如上一节的例子,二次型 1 2 2 3 1 3 2 6 2 x x x x x x − + 经过线性替换 1 1 2 2 3 3 1 1 3 111 0 0 1 x w x w x w             = − −                   化为标准形 222 1 2 3 2 2 6 , www − + 而经过线性替换 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 0 0 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1 6 6 0 0 0 0 6 6 x y y x y y x y y                                 = − − − = −                                 化为另一个标准形 2 2 2 1 2 3 y y y − + . 这就说明,在一般数域内,二次型的标准形不是唯一的,它与所作的非退化线性替换有关. 下面仅就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性问题. 设 1 2 ( , , , ) n f x x x 是一个复系数的二次型. 由本章定理 1, 经过一适当的非退化线性替换后, 1 2 ( , , , ) n f x x x 变成标准形,不妨设它的标准形是 2 2 2 1 1 2 2 0, 1,2, , . r r i d y d y d y d i r + + +  = (1) 再作一非退化线性替换