高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标 x、人、z表示为参数t的函数 x=x(f) y=(t). 2=z(t) 当给定t仁时，就得到C上的一个点(：，，)；随着t的变动便得曲线C上的全部点.方 程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例3如果空间一点M在圆柱面X+y=a上以角速度o绕z轴旋转，同时又以线速度ⅴ沿 平行于z轴的正方向上升（其中似ⅴ都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立 其参数方程 解：取时间t为参数.设当=0时，动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间t,动 点由A运动到抓xgZ)·记M在xOy面上的投影为M,M的坐标为x上0.由于动点在圆 柱面上以角速度o绕z轴旋转，所以经过时间t,∠AOM=ot.从而 x=|av cos∠AOM=acoswt =|av sin∠AOM=asinot, 由于动点同时以线速度·沿平行于z轴的正方向上升，所以 z=MM=vt· 因此螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot z=Vt 也可以用其他变量作参数；例如令任0t,则螺旋线的参数方程可写为 x=acos0 y=asin 2=b0 其中6台，而参数为0 *曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如 x=x(s,t) y=y(s,t). Z=z(s,1) 例如空间曲线「 x=o(t) y=w() (a心t), z=()