第二章多元函数微分法 grud/(x。)= af() x x 称为函数∫在点的梯度,记号是grad/(0) 性质:∫:D∈R→R,给定x∈D,向量 (1)函数∫在x点,沿/的方向导数,是该点梯度在方向上的投影,即 a/(元) al=grad().1o (2)设函数∫在点可微,则其梯度,其方向特性是 (A)沿梯度方向/= grad f()的方向导数最大,即沿梯度方向函 数增加最快; B)沿负梯度方向=-gudf()的方向导数最小,即沿负梯 度方向函数减少最快,称为最速下降方向 其模的特性是:等于该点最大方向导数之值。 证明:取=—1 Grad fG grad/( b=8/()1=8)gd/(c ∂∫(x) Igrado =grad fo) 特别是二、三维空间中 在R2中函数f(x,y)的梯度是 af(x,y) af(r,y)a(x, y) a(x,y) 在R中函数∫(x,y)的梯度是 g/(x少)=/y(xy,=)9(x.)9(x.=)0(xy:) 第三节复合函数微分法第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) T n x f x x f x x f x grad f x           =                   =       1 0 , 称为函数 f 在 0 x  点的梯度, 记号是 ( ) 0 grad f x  . ⚫ 性质： f D R R :  n → ,给定 x0  D  ,向量 (1) 函数 f 在 0 x  点，沿 l  的方向导数, 是该点梯度在方向上的投影，即 ( ) ( ) 0 0 0 grad f x l l f x    =    ; (2) 设函数 f 在 0 x  点可微，则其梯度, 其方向特性是： (A) 沿梯度方向 ( ) 0 l grad f x   = 的方向导数最大, 即沿梯度方向函 数增加最快; (B) 沿负梯度方向 ( ) 0 l grad f x   = − 的方向导数最小, 即沿负梯 度方向函数减少最快, 称为最速下降方向。 其模的特性是：等于该点最大方向导数之值。 证明： 取 ( ) ( ) 0 0 0 1 grad f x grad f x l    = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 grad f x grad f x grad f x grad f x grad f x l l f x        =  =  =   特别是二、三维空间中: 在 2 R 中函数 f (x, y) 的梯度是: ( ) ( ) ( ) T y f x y x f x y grad f x y             = , , , = ( ) (x y) f x y , ,   ; 在 3 R 中函数 f (x, y,z) 的梯度是: ( ) ( ) ( ) ( ) T z f x y z y f x y z x f x y z grad f x y z               = , , , , , , , , = ( ) (x y z) f x y z , , , ,  