由定积分的估值公式,得/m1-(-1s∫(4x2-2x3+5kxs/m-(-1 ≤.(4x2-2x3+5x≤22 512 3.求函数f(x)=Ⅵ1-x2在闭区间[1,1上的平均值 解:平均值 1-(-1) 4.利用定积分的定义证明dx=b-a 证明:令()2=1,则∫dx=J。/(x)dx,任取分点a=x<x…<x=b,把分 成n个小区间[x1,x,并记小区间长度为Ax=x-x1(i=12…;n),在每个小区间 x-,x上任取一点5,作乘积f(5)Ax的和式∑f(51)Ax=∑A,=b-a,记 =mx{△x},则∫dx=mn∑f(5)Ax,=lm(b-a)=b-a 第二节微积分基本公式 思考题: sin tdn) 答:因为smdt是以x为自变量的函数,故∫smd 2.(,f(x)dx)=? 答:因为∫f(x)dx是常数,故(Jf(x)dxy=0 dr]o/(r)dr d 答:因为f(x)dx的结果中不含x,故「f(x)dx=0 d r j, cost dx=? 答:由变上限定积分求导公式,知 cost dx= cos x由定积分的估值公式，得 [1 ( 1)] (4 2 5)d 1 ( 1) max 1 1 4 3 min  − −  − +   − −  − f x x x f , 即 (4 2 5)d 22 512 27 1 1 4 3 −  − +   − x x x . 3. 求函数 2 f (x) = 1− x 在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 − =  − =  − − = 1 1 2 2 4 π 2 π 1 2 1 1 d 1 ( 1) 1  x x . 4. 利用定积分的定义证明  = − b a dx b a . 证明：令 f (x) = 1,则   = b a b a dx f (x)dx ，任取分点 0 1 a = x  x … xn = b ,把 a,b 分 成 n 个小区间   i i x , x −1 ，并记小区间长度为 ( 1,2 , ) xi = xi − xi−1 i =  n ，在每个小区间   i i x , x −1 上任取一点 i  ，作乘积 ( ) i f  i x 的和式 f x x b a n i n i  i   i =  i = − =1 =1 ( ) ,记 max{ } 1 i i n = x    , 则 x f x b a b a x n i i i b a =   = − = − → =  d lim →  ( ) lim ( ) 0 1 0   . 第二节 微积分基本公式 思考题： 1.  =  ( sin d ) d d 1 x t t t ? 答：因为  x t t 1 sin d 是以 x 为自变量的函数，故  x t t t 1 sin d d d =0. 2. ( ( )d ) ? 2 1  =  f x x 答：因为  2 1 f (x)dx 是常数，故 ( ( )d ) 0 2 1  =  f x x . 3. =  b a f x x x ( )d d d ？ 答：因为  b a f (x)dx 的结果中不含 x ，故 =  b a f x x x ( )d d d 0. 4. =  x a t x x cos d d d 2 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知 =  x a t x x cos d d d 2 2 cos x