例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证1)存在性 设f(x)=x32-5x+1,则f(x)在0,连续,且 f(0)=1,f(1)=-3由零点定理知存在x0∈(0,1),使 f(x0)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性 假设另有x∈(0,1),x≠x,使f(x1)=0 f(x)在以x0x为端点的区间满足罗尔定理条件, 在x0,x之间至少存在一点点,使f()=0 但f(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1),矛盾,故假设不 真!例1 证明方程 5 1 0 5 x − x + = ( ) 5 1, 5 f x = x − x + f (0) =1, f (1) = −3. ( ) 0, f x0 = (0,1), , 1 1 0 x  x  x ( ) 5( 1) 4 f  x = x −  0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 (0,1), x0  使 即方程有小于 1 的正根 . 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1 =  f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点  , 使 f () = 0. 但 矛盾, 故假设不 设 真!