第5期 夏承遗，等：复杂网络上的传播动力学及其新进展 ·393· 问题，而真实复杂系统表现出小世界效应]、无标 (（susceptible-infective-recovered-susceptible)传播模 度特性和节点之间的连接相对稀疏，因此有必要 型，发现随着重连概率p的增加，感染个体数量的时 考虑接触网络的拓扑结构对发生在真实系统上传播 间序列nr(t)将逐步从在一个不动点上下波动变 动力学特性的影响 成明显的周期振荡；并且在重连概率p较大时，存在 SARS在人群中的爆发、禽流感在动物中的传 明显的同步相变对象，即很多人同时感染，或同时康 播、层出不穷的计算机病毒在因特网上的蔓延等，都 复.文献[11]利用一个略带修正的SR模型，研究 可以归结为发生在网络上的传播行为].可以将生 在给定的(P,N)条件下，稳态的免疫型(R型)节点 物种群和计算机网络中的个体（单个生物体或单台 数目Na的分布情况，计算得到K=2时相变点的位 主机)抽象为节点，而将个体之间的联系或相互作 置在p。=0.19±0.01，当K增大时，临界值P.变小， 用定义为节点之间的边，利用迅速发展的复杂网络 但非零. 理论来研究大规模生物和计算机病毒流行的传播机 由此可见，小世界网络上的传播行为仍然存在 制.复杂网络理论研究的进展「]为传播动力学研究 明显的相变特性，并且相变临界值非零，没有改变经 提供了新的理论、工具和方法，激发了大量相关的研 典传染病动力学的阈值特性；但是，真实复杂系统的 究工作.本文致力于全面地总结目前国内外关于复 小世界效应会加快病毒在网络上传播的动态过程， 杂网络上疾病传染、传播问题的研究工作，为进一步 促进传染病的爆发， 深入开展复杂网络上传播动力学研究提供了有价值 1.2无标度网络上的传播行为 的线索 根据经典的疾病传播理论，疾病若是持续存在， 必然波及较大的范围，可实证研究表明，计算机病毒、 网络拓扑结构对传播机理和行为的影响 麻疹、性传播疾病等一般仅波及少数个体，但能长期 Watts和Strogatz(WS)、Barabási和Albert 存在.这一问题在很长时间内困扰着传播动力学的研 (BA)在真实世界复杂系统拓扑结构的开创性工 究.最近关于许多真实复杂系统的拓扑结构的研究表 作34]，激发了基于这2类典型复杂网络（或改进模 明，这些网络节点的度分布呈现明显的无标度特性. 型)上传播动力学的广泛研究. 这些疾病传播网络的无标度特性会不会是上述问题 1.1小世界网络上的传播行为 产生的原因呢？PV首先考虑了网络无标度特性的影 Watts和Strogatz在提出Small-World(SW)网络 响，得到了一系列关于复杂网络传播临界值理论的新 模型的开创性工作中就指出SW效应会加快传染病 的研究成果).以SS传播模型为基础，发现疾病的 的传播过程3).但是，Pastor-Satorras和Vespignani 波及范围（稳态感染密度）p与有效传播速率入的关 (PV)等人[)利用平均场理论，研究表明小世界网络 系为p≈e.由此，对任何有限的入，都有p>0,所 与较早的关于规则网络、随机网络上的传播行为类 以有入。=0.这一结果很好地解释了传统理论无法解 似，存在非零的传染速率临界值入。：当入>入。，疾病 释的实际传播现象，极大地改变了传统流行病传播理 能够在接触网络中长期存在下去，演化为地方病 论中所得到的许多结果，具有突破性的意义，并引发 (endemic)状态；当A<入.，疾病以指数的速率迅速 了对无标度网络上传播行为的研究热潮.更进一步， 消亡 他们发现复杂网络的传播临界值为入。=<k>/ 目前，对于小世界网络上传播行为进行解析研 <k2>,对2<Y≤3的无标度网络，在网络规模趋 究的主要手段就是将其等价为某种逾渗(percola- 于无穷大时，<2>发散，有入。=0，即缺乏临界传 tion)问题.在文献[8]中，Newman和Watts(NW)研 播阈值，与前面的分析一致. 究了改进的小世界网络上的SR模型的传播问题， 上述分析都是针对非关联网络而得到的.然而， 将该问题等价为小世界网络上逾渗概率为p的座逾 研究发现节点度的关联性是包括社会网络、Internet 渗(site percolation)问题，从而可以解析求出传播持 等许多复杂网络的一个重要特征.文献[12]研究了 续时间和感染者数量之间的关系.结果显示在W 关联网络上的传播特性，用条件概率P(k'1k)来表 网络上这种传播的时间特性由网络平均距离决定. 示度为k的节点与度为k'的节点相连接的概率，定 采用类似的思路，文献[9]研究了高维小世界网络 义矩阵Cw={kP(k'Ik)},研究结果显示关联网络 上的逾渗性质.同样，还可以将一些传播问题等价为 的传播临界值为入。=1/Am,其中Am为Cw的最大 键逾渗问题(bond percolation)、座键混合逾渗(site- 特征值.对于非关联网络，Cw只有惟一的特征值 bond percolation)问题. Am=<k2>/<k>. 文献[10]研究了WS小世界网络上的SRS 另外，真实网络都是有限规模大小的，有限尺度