【学术论文】复杂网络上的传播动力学及其新进展

第4卷第5期 智能系统学报 VoL.4 No.5 2009年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2009 doi:10.3969/j.i8sn.16734785.2009.05.002 复杂网络上的传播动力学及其新进展 夏承遗12，刘忠信3，陈增强3，袁著祉3 (1.天津大学管理学院，天津300072；2.天津理工大学智能计算与软件新技术天津市重点实验室，天津300191：3. 南开大学自动化系，天津300071) 摘要：深刻理解传染病在社会群体中的传播规律、计算机病毒在因特网上的扩散过程是复杂系统和传染病动力学 领域研究的一个热点问题.主要从复杂网络的拓扑结构和流行病的感染机制2个方面综述了当前国内外传播动力 学研究的现状和最新进展，探讨了传播动力学在疾病预防与免疫中的应用，最后指出值得进一步研究的问题.例如 带社区、层次结构的加权演化模型，动态网络结构下的疾病传播行为和微观感染机制等。 关键词：复杂系统：复杂网络：传播动力学；疾病传播 中图分类号：TP183:0231.5;N945.12文献标识码：A文章编号：1673-4785(2009)050392-06 Transmission dynamics in complex networks XIA Cheng-yi2,LIU Zhong-xin,CHEN Zeng-qiang,YUAN Zhu-zhi (1.School of Management,Tianjin University,Tianjin 300072,China;2.Tianjin Key Laboratory of Intelligence Computing and Novel Software Technology,Tianjin University of Technology,Tianjin 300191,China;3.Department of Automation,Nankai University, Tianjin 300071,China) Abstract:Analysis of the spread of infectious diseases within social populations and the processes used by comput- er viruses to diffuse on the Internet are active areas of study.They involve complex systems and the dynamics of ep- idemics.Related research,including progress in understanding epidemic dynamics,was reviewed in light of the to- pological structures of complex networks and the mechanisms of infection in epidemics.The application of epidemic dynamics to disease prevention and control was also explored.Several problems needing further study were pointed out,such as weighted evolution model of community or hierarchy,the spread of diseases within dynamic network configuration,micromechanisms of infection in epidemics and so on. Keywords:complex systems;complex networks;epidemic dynamics;disease spreading 纵观人类社会的发展，传染病一直持续不断地的扩散过程等进行精确建模，进而设计有效的流行 威胁着人类的健康，从早期的天花、麻疹，到近年来 病的预防与控制策略是当前复杂系统和传染病动力 的艾滋病、非典型性肺炎(SARS)以及禽流感，每一 学领域研究的一个热点问题，具有重要的理论意义 次大爆发都给人们的生命财产带来巨大的损失.此 和实际的应用价值) 外，计算机病毒借助庞大的因特网，更加方便地跨越 对于经典传染病的建模、分析，人们已经做了大 国界，时时刻刻、无孔不入地渗透到世界的每一个角 量工作)，提出了各种传播模型，其中最著名的有 落，阻碍着人类社会的网络化进程.因此，对传染病 基于常微分方程的SIS(susceptible-infective-suscepti- 在社会群体中的传播规律、计算机病毒在因特网上 ble)和SlR(susceptible-infective-removed)模型.这些 模型指出各种传染病都存在临界行为和阈值特性， 收稿日期：200903-24. 但它们都有一个共同的假设：均匀混合假设，总是假 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60774088,60904063)：天津 市应用基础与前沿技术研究计划重点项目 定个体之间具有相等的接触概率、传染性，没有考虑 (08 JCZDJC21900):教育部科学技术研究重点项目 接触网络拓扑结构、个体差异等对传播行为的影响， (107024)；天津市高等学校科技发展基金资助项目 (20071306). 这与真实情况不完全一致.事实上，传统的基于常微 通信作者：夏承遗.E_mail:xialooking(@163.com 分方程的传播模型，等价于完全连通网络上的传播

第5期 夏承遗，等：复杂网络上的传播动力学及其新进展 ·393· 问题，而真实复杂系统表现出小世界效应]、无标 (（susceptible-infective-recovered-susceptible)传播模 度特性和节点之间的连接相对稀疏，因此有必要 型，发现随着重连概率p的增加，感染个体数量的时 考虑接触网络的拓扑结构对发生在真实系统上传播 间序列nr(t)将逐步从在一个不动点上下波动变 动力学特性的影响 成明显的周期振荡；并且在重连概率p较大时，存在 SARS在人群中的爆发、禽流感在动物中的传 明显的同步相变对象，即很多人同时感染，或同时康 播、层出不穷的计算机病毒在因特网上的蔓延等，都 复.文献[11]利用一个略带修正的SR模型，研究 可以归结为发生在网络上的传播行为].可以将生 在给定的(P,N)条件下，稳态的免疫型(R型)节点 物种群和计算机网络中的个体（单个生物体或单台 数目Na的分布情况，计算得到K=2时相变点的位 主机)抽象为节点，而将个体之间的联系或相互作 置在p。=0.19±0.01，当K增大时，临界值P.变小， 用定义为节点之间的边，利用迅速发展的复杂网络 但非零. 理论来研究大规模生物和计算机病毒流行的传播机 由此可见，小世界网络上的传播行为仍然存在 制.复杂网络理论研究的进展「]为传播动力学研究 明显的相变特性，并且相变临界值非零，没有改变经 提供了新的理论、工具和方法，激发了大量相关的研 典传染病动力学的阈值特性；但是，真实复杂系统的 究工作.本文致力于全面地总结目前国内外关于复 小世界效应会加快病毒在网络上传播的动态过程， 杂网络上疾病传染、传播问题的研究工作，为进一步 促进传染病的爆发， 深入开展复杂网络上传播动力学研究提供了有价值 1.2无标度网络上的传播行为 的线索 根据经典的疾病传播理论，疾病若是持续存在， 必然波及较大的范围，可实证研究表明，计算机病毒、 网络拓扑结构对传播机理和行为的影响 麻疹、性传播疾病等一般仅波及少数个体，但能长期 Watts和Strogatz(WS)、Barabási和Albert 存在.这一问题在很长时间内困扰着传播动力学的研 (BA)在真实世界复杂系统拓扑结构的开创性工 究.最近关于许多真实复杂系统的拓扑结构的研究表 作34]，激发了基于这2类典型复杂网络（或改进模 明，这些网络节点的度分布呈现明显的无标度特性. 型)上传播动力学的广泛研究. 这些疾病传播网络的无标度特性会不会是上述问题 1.1小世界网络上的传播行为 产生的原因呢？PV首先考虑了网络无标度特性的影 Watts和Strogatz在提出Small-World(SW)网络 响，得到了一系列关于复杂网络传播临界值理论的新 模型的开创性工作中就指出SW效应会加快传染病 的研究成果).以SS传播模型为基础，发现疾病的 的传播过程3).但是，Pastor-Satorras和Vespignani 波及范围（稳态感染密度）p与有效传播速率入的关 (PV)等人[)利用平均场理论，研究表明小世界网络 系为p≈e.由此，对任何有限的入，都有p>0,所 与较早的关于规则网络、随机网络上的传播行为类 以有入。=0.这一结果很好地解释了传统理论无法解 似，存在非零的传染速率临界值入。：当入>入。，疾病 释的实际传播现象，极大地改变了传统流行病传播理 能够在接触网络中长期存在下去，演化为地方病 论中所得到的许多结果，具有突破性的意义，并引发 (endemic)状态；当A/ 目前，对于小世界网络上传播行为进行解析研 ,对2发散，有入。=0，即缺乏临界传 tion)问题.在文献[8]中，Newman和Watts(NW)研 播阈值，与前面的分析一致. 究了改进的小世界网络上的SR模型的传播问题， 上述分析都是针对非关联网络而得到的.然而， 将该问题等价为小世界网络上逾渗概率为p的座逾 研究发现节点度的关联性是包括社会网络、Internet 渗(site percolation)问题，从而可以解析求出传播持 等许多复杂网络的一个重要特征.文献[12]研究了 续时间和感染者数量之间的关系.结果显示在W 关联网络上的传播特性，用条件概率P(k'1k)来表 网络上这种传播的时间特性由网络平均距离决定. 示度为k的节点与度为k'的节点相连接的概率，定 采用类似的思路，文献[9]研究了高维小世界网络 义矩阵Cw={kP(k'Ik)},研究结果显示关联网络 上的逾渗性质.同样，还可以将一些传播问题等价为 的传播临界值为入。=1/Am,其中Am为Cw的最大 键逾渗问题(bond percolation)、座键混合逾渗(site- 特征值.对于非关联网络，Cw只有惟一的特征值 bond percolation)问题. Am=/. 文献[10]研究了WS小世界网络上的SRS 另外，真实网络都是有限规模大小的，有限尺度

·394 智能系统学报 第4卷 效应对网络上的传播行为的影响具有一定的实际意 染密度.文献[24]提出一个带有社团结构的SF网 义.文献[13]首先研究了无标度网络上传播行为的 络模型，基于SI传播模型研究发现，与标准SF网络 有限尺度效应，指出在有限规模的网络上SR模型 相比，社团结构的SF网络上疾病的波及范围会大 存在正的非零传播临界值.PV给出了有限尺度效应 大降低， 下SS传染模型临界值的解析结果4 此外，社会网络经常表现出某种层次结构特性， 临界值理论只考虑传播的最终稳态情况，而对 这种层次结构对传播行为的影响如何？文献[25] 于在传播过程中出现的如震荡等动态行为的研究较 在Wats等26]提出的层次社会网络模型基础上，利 少.文献[15]分析了最简单的S1传播模型在具有高 用SR模型研究了层次结构的维数(H)对传播动 度非均匀度分布特性的复杂网络中传播爆发的时间 力学的影响.如果H=1,随着人群划分为日益相似 演化过程，发现非均匀网络中病毒传播具有递阶动 的局部组，存在从全局到局部传播的转变（相变）； 态行为：病毒首先感染网络中度大的节点，然后层层 而如果H>1,不管个体所在组的相似程度如何，总 入侵，直至网络中度很小的节点.文献[16-17]详细 是达到全局传播（即大范围流行），这对疾病的预防 研究了SS传播模型在典型复杂网络模型中传播爆 与控制来说不是好的消息· 发的时间演化过程，有类似的结论，并且SI模型的 文献[27]提出一个基于小世界网络的新颖的 结果是研究的一个特例情况. 传播模型，利用一定的控制策略来抑制疾病或病毒 此外，以经典的SS/SR模型为基础，研究更复 的传播，研究带有线性和非线性反馈控制器的时延 杂、更现实的传播模型值得进一步尝试.文献[18] 控制传播模型的稳定性和Hopf分叉特性，分析了 研究了带有直接免疫机制的SRS传染模型的传染 S模型的重连概率、控制器的反馈增益、时延等对 临界特性，发现直接免疫作用可以大大增加传播的 不稳定振荡行为的影响，结果表明时延依赖的小世 临界阈值，降低疾病的波及范围].此外，基于因特 界网络中的传播存在固有的振荡行为. 网上计算机病毒爆发的特征，提出了一个新的分阶 文献[28]利用SIS和SRS模型，研究了带有社 段传播模型1]，很好地刻画了典型的计算机病毒在 区的网络疾病传播，发现随着传播速率的增加，感染 因特网上的传播行为， 密度具有稳定于一个固定的平衡点、不稳定振荡或 当前研究表明，高度异构化的网络具有中心节 2-周期振荡等特性。 点，会促进疾病的传播，当网络规模趋于无穷大时传 文献[29]提出一个自适应网络演化模型，基于 染临界值为0.但是，上述结果忽略了节点个体的差 网络中的健康个体在面临传染病爆发时主动避免与 异，仅从网络结构的角度来对疾病传播进行建模，还 染病个体的连接，从连接边（分为健康一健康、健康-染 不能完全刻画真实流行病的传播行为. 病、染病染病3种类型的边)演化的角度建立SS传 1.3其他网络拓扑特性对传播行为的影响 播动力学方程.在每一个时间步内，染病个体以概率r 文献[20]提出一个结构化的scale--fee(SF)网 治愈，与染病个体相连接的健康个体以概率p被感 络模型，该模型具有很大的聚集系数和度关联性，针 染，此外每一对健康-染病连接边一端的健康个体以 对SS传染模型，研究发现即使度分布的二阶矩发 概率和切断这条边，并同时随机选择一个健康个体建 散(→∞)，疾病传播也存在非零的传染阈 立新连接.结果表明随着"的变化，传播过程存在 值，进而指出高度的聚集性（模块性）和度关联可以 Hopf分叉、跨临界分叉以及鞍结分叉等动力学行为， 保护SF网络、阻止病毒在网络上的传播. 染病个体密度呈现不连续跃迁、双稳态、震荡和滞环 真实网络如通信网络、交通网络等都是表现为 等现象 含权网络，它们的传播行为有何特性？文献[21]首 文猷[30]基于SS传播模型研究了偏好连接和 先研究BBV含权模型网络[2]上的SI传播模型的动 地理空间结构共同对疾病传播的影响.新节点与 态特性，结果表明与无权网络不同，动态传播行为没 旧节点(d:为两节点间的几何距离)建立连接的概 有递阶动态行为. 率正比于/d(A和B是2个固定常数)，发现A= 另外，真实复杂系统如社会网络，具有明显的社 0时，再现通常的具有阈值的传染行为；B=0时，仅 团结构，在社团内部联系紧密（如家庭成员、同事之 在A=1时缺乏临界行为， 间等)，而不同社团的个体之间联系较少.文献[23] 综上所述，网络拓扑结构对复杂网络上的传播 提出一个简化的带有社团结构的复杂网络模型，然 动力学行为起决定性的作用；但是上述研究都假定 后研究该模型上的疾病传播，发现社区网络与随机 节点的传染能力等于节点的度，即存在“超级传播 均匀网络相比，有较小的传染临界值，更大的稳态感 者”的条件下得到的.如果修改这一假设条件，就可

第5期 夏承遗，等：复杂网络上的传播动力学及其新进展 ·395· 能出现一些新的现象.另外，对具有社区结构的加权 减小与外界接触的机会，从而改变了网络的拓扑结 网络模型上的传播行为的研究还是空白，网络的层 构，他们利用反馈机制代表这一行为，将其引入到传 次结构、网络拓扑结构的动态变化等对传播动力学 播动力学中，研究了指数网络（包括ER和WS模 的影响研究较少.所以，将网络的加权特性、社区行 型)中带反馈的传染、传播行为，发现这一机制能够 为、网络结构的动态变化等结合起来研究它们对传 减小网络中感染个体的最终密度，但并未改变疾病 播行为的影响更能反映网络上真实传播行为，这值 传播的临界阈值。 得深入研究. 文献[40]提出了一个带有媒介的SS传播模 型，符合一类传染病如疟疾、黄热病与登革热等的传 2 疾病感染机制对传播行为的影响 播特性.疾病不仅可以通过感染个体传播，而且还可 宏观上，网络拓扑结构决定了疾病传播的相变 以通过感染媒介（如蚊子）等传播，发现在复杂网络 过程或临界行为，但具体的疾病感染机制对传播行 上的传染阈值与标准SIS模型类似，但按比例免疫 为的影响也不可忽视，研究这些机制对于疾病的预 的策略对这一新的传播模型非常有效， 防和控制具有实际意义 文献[41]提出一个新的传播模型，易感个体被感 文献[31]将饱和效应加入到SS感染传播模 染的概率不是依赖于它的度，而是关于暴露程度中的 型，其中感染传输概率与度相关，但不是线性相关， 一个函数F(中).结果表明有效平均感染速率存在临界 而是引入饱和函数C(k),从而限制hub节点的传 阈值入。=1，该阈值与治愈率、传染机制和网络拓扑有 染能力，即使度指数2/∑A(k)T(k)() 的结果可能与已有的结论截然不同（如在高度异构 (其中A(k)代表度为k的易感节点通过感染边实际 的SF上也存在正的传播临界值).目前这方面研究 被感染的概率，而T(k)表示感染节点实际传染给 刚刚起步，很多研究只能捕获真实传播行为的某一 其他节点的概率).即使对SF网络，选择特定的 方面，有待进一步深入 A(k)和T(k)也能使入.不为0（如只要A(k)T(k)= 3传播动力学理论的应用研究 1/k,则对任何复杂网络A。都为1).文献[33]提出 一个新的具有完全相同传染性的SI模型，即每个节 在理解流行病传播规律的基础上，研究如何配置 点只能接触有限个恒定的邻居；然后在SF网络上 和优化医疗资源，从而迅速抑制传染病大规模的爆 实现该模型，发现被感染人群指数增长，但其时间尺 发，是传播动力学研究的首要、也是最重要的应用. 度要远大于标准SI模型.基于SR模型，文献[34] 基于复杂网络理论，分别提出了目标免疫[) 环状接种以及“熟识者”免疫4]等策略，结果表 还研究发现这种具有相同传染性的传播模型即使在 明这些新的策略都比随机免疫策略的效果要高得 BA无尺度网络上也存在正的临界阈值(A。=1/A, 多.在“熟识者”免疫基础上，文献[45]提出一个新 其中A代表节点的感染能力)，与标准SR模型完全 的免疫策略，随机选择一个节点，然后询问它的邻居 不同 的度是否大于特定的值或节点自身的度，如果满足 文献[35]提出一个新的传播机制，假定个体的 这个条件就免疫这个邻居，免疫的效果基本上接近 传染性与其度呈非线性的关系(A(k')=入k。,其 目标免疫，但不需要了解网络的全局拓扑信息 中α∈(0,1))，研究SR模型的传播临界值，发现 另外，许丹等[6]等从节点路径长度范围的角度 标准SR模型和文献[34]的结果恰好是其2种极 研究了病毒的局域控制，分析了不同拓扑结构的复 限情况.在此基础上文献[36-37]研究了具有非线性 杂网络中局域控制的有效性。 传染性的SIS和SRS模型，发现这一新的传播机制 目前，在实践中基于复杂系统的局域信息条件 会显著影响疾病传播的临界值.文献[38]将节点之 下，如何设计一套分布式、实时在线免疫策略的研究 间传染能力建模为度的分段线性函数，更加符合实 值得深入开展，并具有重要的现实意义和实用价值. 际传播情况，发现即使在高度异构的SF网络上，也 4 结束语 可能存在正的传播阈值 文献[39]考虑到受传染病的影响，个体尽可能 基于复杂网络理论的流行病的传播动力学研究

·396 智能系统学报 第4卷 可以在传染性疾病、计算机病毒等方面有着直接的 [8]NEWMAN M E J,WATTS D J.Scaling and percolation in 应用，受到学术界的广泛注意.虽然已经取得了令人 the small-world network model[J].Physical Review E, 瞩目的研究，但很多结果离实际应用要求还有相当 1999,60:7332-7342. 的差距，以下几个方面有待深入开展： [9]MOUKARZEL C F.Spreading and shortest path in systems with long-range connections[].Physical Review E,1999, 1)真实系统通常具有加权、社区及层次结构等 60:62636266 特性，同时系统的拓扑结构可能动态变化，因此考虑 [10]KUPERMAN M,ABRAMSON G.Small-world effect in an 带社区、层次结构的加权演化模型和动态网络结构 epidemiological model [J].Physical Review Letters, 下的疾病传播行为是有意义的研究方向. 2001,86:2909-2912. 2)具体的微观感染机制对疾病传播行为也会 [11]ZANETTE D H.Critical behavior of propagation on small- 产生巨大的影响.探索能够表征真实传染行为的微 world networks J].Physical Review E,2001,64: 观感染机制在复杂网络上的传染、传播的动态演化 050901. 规律也值得进一步深入的研究 [12]BOGUNA M,PASTOR-SATORRAS R,VESPIGNANI A. Absence of epidemic threshold in scale-free networks with 3)将复杂网络上传播动力学的理论、方法应用 degree correlations[].Physical Review Letters,2003, 到计算机病毒、新兴恶性传染病（如SARS、禽流感 90:028701. 等)传播行为的分析和研究中，提取一些共性的特 [13]MAY R M,LLOYD A L.Infection dynamies on scale-free 征，为从宏观上设计病毒预防和控制策略、实践上部 networks[J].Physical Review E,2001,64:066112. 署免疫资源等提供理论指导，这方面的研究具有重 [14]PASTOR-SATORRAS R,VESPIGNANI A.Epidemic dy- 要的实际应用背景，值得深人开展， namics in finite size scale-free networks[].Physical Re- 4)通常要尽力避免或抑制传染病的快速传播， view E,2002,65:035108. 15 BARTHELEMY M,BARRAT A,PASTOR-SATORRAS 能否逆向思维，利用快速传播这一特点，基于复杂网 R,et al.Velocity and hierarchical spread of epidemic 络理论提出新的路由协议用于通信网络中数据包的 outbreaks in scale-free networks[J].Physical Review 传递？作者认为这是一个有益的尝试。 Letter8,2004,92:178701. 相信在上述几个方面的深入探索将有助于更加 [16 XIA Chengyi,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang,et al. 深刻地理解真实复杂拓扑系统中传染机制与传播行 Dynamic spreading behavior of homogeneous and heteroge- 为，为将传播动力学理论应用到传染性疾病与计算 neous networks[J].Progress in Natural Science,2007, 机病毒的预防和控制中提供科学的理论依据， 17(3):358-365. [17]XIA Chengyi,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang,et al 参考文献： Epidemic spreading behavior on local-world evolving net- works[J].Progress in Natural Science,2008,18(6): [1]EUBANK S,GUCLU H,KUMAR V S A,et al.Modeling 653658. disease outbreaks in realistic urban social networks[J].Na- [18]夏承遗，刘忠信，陈增强，等.复杂网络上带有直接免疫 ture,2004,429:180-184. 的SS类传染模型研究[J].控制与决策，2008,23 [2]MURRAY J D.Mathematical biology (I):an introduction (4):468-472. [M].Berlin:Springer-Verlag,2005. XIA Chengyi,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang,et al. [3]WATTS D J,STROGATZ S H.Collective dynamics of small SIRS epidemic model with direct immunization on complex world networks[J].Nature,1998,393:440-442. networks[J].Control and Decision,2008,23(4):468- [4]BARABASI A L,ALBERT R.Emergence of scaling in ran- 472. dom networks [J].Science,1999,286:509-512. [19]XIA Chengyi,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang,et al.A [5]ZHOU J,LIU Z H.Epidemic spreading in complex net- new multistage epidemiological model on complex networks works[J].Frontiers of Physics in China,2008,3(3): [J].Dynamics of Continuous,Discrete,and Impulsive 331-348】 Systems-Series B,2007,14(S6):160-165. [6]陈关荣.复杂网络及其新近研究进展简介[J].力学进 [20]EGUILUZ V M,KLEMM K.Epidemic threshold in struc- 展，2008,38(6)：653662. tured scale-free networks J].Physical Review Letters, CHEN Guanrong.Introduction to complex networks and 2002,89:108701. their recent advances[J].Advances in Mechanics,2008, [21]YAN G,ZHOU T,WANG J,et al.Epidemic spread in 38(6):653662. weighted scale-free networks[J].Chinese Physics Letters, [7]PASTOR-SATORRAS R,VESPIGNANI A.Epidemic 2005,22(2):510-513. spreading in scale-free networks[J].Physical Review Let- [22]BARRAT A,BARTHELEMY M,VESPIGNAN V.Weigh- tes,2001,86:3200-3203. ted evolving networks:coupling topology and weighted dy-

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