第5卷第5期 智能系统学报 Vol.5 No.5 2010年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2010 -doi:10.3969/j.is9n.16734785.2010.05.010 一般齐次T-S模糊系统的逼近性能 王宁，谭跃，王丹，吴志良 (大连海事大学轮机工程学院，辽宁大连116026) 摘要：为剖析一般齐次TS模糊系统的逼近性能，通过广泛总结常用模糊集的特点，明确定义了一种具有普遍意义的 输入空间的一般模糊划分(GP).基于输入采用GFP的一般齐次T-S模糊系统的解析结构，证明了该类一般齐次TS 模糊系统能够以任意精度逼近任意非线性函数，并得到了一个其作为通用逼近器的充分条件.作为GP的一种退化， 进一步研究了输入采用线性模糊划分(LFP)的一般齐次T-S模糊系统的一阶逼近性能.仿真实例验证了所得理论结果 的有效性，并考察了充分条件的保守性.这为基于齐次T$模糊模型的复杂系统建模与控制提供了理论指导. 关键词：齐次T-S模糊系统；逼近性能；复杂系统；模糊划分 中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：16734785(2010)05043607 Study on approximation capabilities of general homogenous T-S fuzzy systems WANG Ning,TAN Yue,WANG Dan,WU Zhi-liang Marine Engineering College,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China) Abstract:In order to analyze approximation capabilities of general homogenous T-S fuzzy systems,the general fuzzy partition(GFP)with universal significance was definitely defined in the input space of fuzzy systems through com- prehensively summarizing properties of common fuzzy sets.Based on the analytical structure,a large class of gener- al homogenous T-S fuzzy systems was proven to be able to approximate any nonlinear function to any degree of accu- racy,and a sufficient condition for the introduced fuzzy systems to be the universal approximator was proposed. Concerning the degeneration of the GFP,the linear fuzzy partition (LFP)in the input space of fuzzy systems was also defined to further investigate first-order approximation capabilities of general homogenous T-S fuzzy systems. Simulation studies demonstrated that the presented theoretical results are effective and the sufficient condition was investigated to be conservative.These results provide a theoretical foundation for complex system modeling and con- trol based on homogenous T-S fuzzy systems. Keywords:homogenous T-S fuzzy systems;approximation capability;complex systems;fuzzy partition T-S模糊系统可分为2类：仿射（或典型）T-S模单输出情形的模糊系统的通用逼近性，并进一步研 糊系统和齐次T-S模糊系统，区别在于后者的规则究了规则后件为常数的Sugeno模糊系统通用逼近 后件中没有常数项.这2类模糊模型用于系统建模 性.刘福才等人基于对称三角形模糊划分，研究 与控制，取得了一定的成功2].作为该应用领域的 了采样点个数对该类T-S模糊模型精度的影响，对 理论基础，仿射T-S模糊系统的逼近性能得到了广 仿射T-S模糊建模具有一定的理论指导意义.但规 泛、深入的研究34.Ying等人)]首先证明了一类仿 则后件中的常数项不利于模糊控制系统的分析和设 射T-S模糊系统的通用逼近性，并给出了一致逼近 计，在实际应用中，通常采用齐次T-S模糊系统，其 连续函数的充分条件，但只对双输入单输出的情况 优势在于可运用成熟的线性系统理论设计局部和全 给予了证明.曾珂和张乃尧等人[46证明了多输人 局稳定控制系统[8].单从逼近性能角度讲，Fantuzzi 等人]指出齐次T-S模糊系统的逼近性能不及仿射 收稿日期：2010-03-12. T-S模糊系统，并研究了单输入单输出的齐次T-S 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51009017)：中央高校基本科 研业务费专项资金资助项目(2009QN025). 模糊系统的逼近性能.Teixeira等人[io]提出了一种 通信作者：王宁.E-mail:n.wang.dmu.cn@gmail.com
第5期 王宁，等：一般齐次T-S模糊系统的逼近性能 ·437· 由非线性模型得到齐次T-S模糊系统规则后件参数 的方法，但并未给出所构造的模糊系统的逼近性能 0(x)= ΠM.(). (3) 分析.Tanaka和Wang等人[-3]提出了一种基于平 式中：(x)为第1条规则前件的激活度，M.,()为 行分布补偿(parallel distributed compensation,PDC) 对于模糊集M的隶属度。 和线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)方 1.2输入采用GFP的齐次T-S模糊系统 法的T-S模糊控制系统设计方法.作为该方法的理 对于模糊系统(2)，通常采用具有有界支集的 论基础，文献[13]对一类齐次T-S模糊系统的逼近 隶属度函数，各局部模型仅在输入状态空间的某一 性能进行了初步研究，但该模糊系统的构造具有一 有限区域内是有效的.而且，每条规则的前件定义了 定的局限性.最近，王宁等人[4通过定义一种输入 一个局部操作域，相应的规则后件描述了在此区域 空间的标准双交叠模糊划分，研究了一大类齐次T-S 内有效的局部特性.同时，输人模糊集大多具有双交 模糊系统的逼近性能.需要指出的是，结构更为普遍 迭的特性.基于此，定义一种更具普遍意义的一般输 的一般齐次T-S模糊系统的逼近性能有待进一步的 入空间划分(GFP). 深入研究.此外，针对齐次T-S模糊系统作为通用逼 设M.()为论域U上的连续函数： 近器的充分条件，还尚未有相关的研究报道， （）,*∈（a,d）, 本文结合常用模糊集的一般特性，明确定义了一 1, 种更为一般化的输入空间的一般模糊划分(GFP),并 M.（）= =d, 得到了输入采用GFP的齐次T-S模糊系统的一般结 D(),e（d) 构.在此基础上，研究了一大类一般齐次T-S模糊系 0, 生（4，b.y】. 统的通用逼近性能和对函数导数的逼近性能，并给出 式中：0≤l,()/x≤入，-入≤D,（)/a≤0， 了该模糊系统作为通用逼近器的充分条件.最后，仿 0<入<∞，d.为模糊集M.的中心。 真实例验证了所得理论结果的有效性 定义1称模糊集组{M.巧=1,2，…，N,广= 1,2,…,n是U上的一个一般模糊划分(GP),如 1输入采用GFP的齐次T-S模糊系统 果满足条件：1)d.1=,d.y=月，d1<d2<…< 1.1齐次T-S模糊模型 d.y2）44<b.-≤4≤41<b=2,3,…, 齐次T-S模糊系统本质上是一个非线性映射， N-1. 考虑多输人单输出系统fs:UCR”→VCR,其中 那么，输入空间U被划分为K个子空间D, U=U1×U2×…×Un为输入空间，V为输出空间.齐 次T-$模糊系统可描述为 k=1,2,…,K,K=K人=-1.每个子空间可描 R:IF is Mi.and...and x is M.THEN 述为 fs=ax,l=r(i1,i2,…,in),=1,2,…,N De={xlx∈U,d.与≤≤d.lj=1,2,…,n (1) (4) 式中：输入状态向量x=[x12…xn]∈U,∈U= 式中： [cB],M(=1,2,…,W)为相应的模糊集，V k=σ(k1,k2,…,kn),k=1,2,…,K 为相应的模糊集合的数目，并且 σ(k1,k2,…,kn)= r(1,2,…,in）)= [(%-1)几K)+k,n≤2， ∑[(-1)ΠN]+in≥2， k, n=1. n=1. 由式(2)、(3)、(4)，可得输入采用GP的齐次 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均解模糊 T-S模糊系统为 方法，齐次T-S模糊系统(1)可表示为 f(x)=∑h(x)a,x∈Dk,k=1,2,…,K(5) Fo(x)=h()axs. (2) 式中： 式中：0≤h,(x)≤1为正规化隶属函数，并且满足： L=U=r(a()+6(e,,…e)川ee0,1, (）=,(x)/公（x),A()）=1
·438. 智能系统学报 第5卷 定义2称模糊集组{M病，=1,2，…，，方= 假设1非线性函数f(x)满足：1)f(0)=0; 1,2,…,n是U上的一个线性模糊划分(LP),如 2)f∈C,即f(x),Vf(x)和7f(x)在论域U上是 果{M.,=1,2,…,N,j=1,2,…,n是0上的- 连续有界的.其中，7f(x)=[af(x)/ax1,f(x) 个GFP,并且满足： ax2,.,of(x)/ax],vf(x)=[of(x)/ax;ox]"x". M.（)(-d.）+M+1()（-d1) 令 M.(）+M.1() 9,岁∈[d4,d]. (6) a(x)= +,r≠0，) 川x12 式中：9.(6=1,2，…，K)为常数. 7f(x), x=0. 易见，LP是GFP的一个特例，常见的全交叠 a =a(x). (8) 三角形隶属函数便是一种LFP. 式中：xo=0e{,l=1,2,…,rf,x=[d1d,… d].容易验证， 2逼近性能分析 f(x)=a(x)x. 2.1通用逼近性能 选取模糊规则如式(1)所示，所得逼近函数如 不失一般性，待逼近的任意非线性函数f(x): 式(5)所示.考虑任意输入子空间Dk,则逼近误差 UCR→VCR满足如下一般性假设： e(x)为 1)当xo)=0∈D。时， e()=f)-f)=Eh,(x))-a)= bo(x)0)+0)x+2rno)x-70))+ 品4x)+)x-)+c-)r7m-）-4x九)-A+ 川I2 四分名4+-rm-小 ne宁+Aea--9+-mc-》 2)当x0=0D.时， e(x)=fx)-f()=E(x))-ar)= 及()+)x-)+x-)r7x-）-x-)- 1x‖2 及，(x)(a,-,)(-)+2(x-)r7(x-). 以上结果可合并为 I及()(a-)(-)）+ e()）=A((a,-x)-)）+ 3-)rmx-1≤ x-)rm)x-x)》. (9) A)I（a,-)-)I+ 式中：x,∈D 定理1输人采用GP的齐次T-S模糊系统 及()1x-)r7m(x-)1≤ fs(x)能够以任意精度一致逼近满足假设的任意非 m(a-)(出-x)‖+ 线性函数f代x):UCR→VCR 证明由式(9)可得 盟2(x-)n)(x-)1≤ Ie()‖= {‖a,-fx)‖·x-x}+
第5期 王宁，等：一般齐次T-S模糊系统的逼近性能 ·439· 21)I·lx-x2,x,meD. 1 + 令 m( △k=√n6k,8e=max6i时 (10) x I 了，k 式中： l101+ k=o(k1,k2,…,kn）,65=1-,(11） lf0)‖·max‖+max‖7fx). Y:=max‖a,-7fx)‖，(12) 又由x∈[0,1]"，得y≤c+s1,p=s2.故式(15)成 :=m)D.. (13) 立.证毕. 由以上可得 2.3对函数导数的逼近 1e()1≤Y4:+2P,42seD.（(14) 本节将讨论输入采用LP的齐次T-S模糊系统 对待逼近函数的导数的一致逼近性能.基于GFP和 由式(8)和假设1可知，Y和P都是有限的数.从 LP的定义，首先给出如下引理. 而对于He4>0,当△k充分小时，有 引理1如果模糊集组{M钙，=1,2，…，N, Ie(x)‖≤sk,x∈Dk j=1,2,…,n}满足LFP的定义，则有 从而可得 (16) ‖le(x)‖≤e,x∈U, AA()=0, B=max6k,k=1,2,…,K ∑(x-)Vh(x)=-I,x∈Dk 即Hε>0，存在一般齐次T-S模糊系统使得 式中：Vh（x)=[ah,(x)/ax1h(x)/a2 ‖e(x)‖≤B.证毕. h(x)/xn],I为单位阵. 2.2作为通用逼近器的充分条件 证明 不失一般性，将每一维的输入变量归一化到论 由GP和LP的定义可知，五，：(x)= 域0,1]. 1,从而可得式(16)成立.由式(3)、(4)可得 定理2如果GFP采用均匀分布的N个模糊 盆，)x-） 子集，即W=N,j=1,2,…,n,对任意满足假设的 非线性函数f(x)和给定的逼近误差e>0,则存在： M)(x-) N≥nc++Vc+严+2s8)+l.(15) (M()+M() 式中：c=If(0)‖+‖7f(0)‖，s1= 「M1.(x)(1-d)+M+(x)(x1-d,+) ‖f代)I=m‖代x): M1,（xi）+Mi,k+（x1） 证明若每一维输人变量均采用均匀分布的N 个模糊子集，由式(10)~(14)可得 Mk.(x)(x。-dk）+Mn1(x)(。-dnki） Ifs(x)-f)‖≤yA+2p42= Mk ()+M() 又由式(6)可得 m/(N-1)+2p(N-1)2≤&，eU ∑h,(x)(x-)=[c1kh…ck,]T=c te 即，m7(N-1)+分p(N-1)2≤，立即可得 从而有 N≥y+分+2p82+1. (()())/ag= 28 式中：y=mar‖a-f(x）,p=m ()h()+h()=0 e D 所以， ‖72f(x)‖.由假设1可知， y=max a,-7fx)‖≤ A-))=夏1=-1reD max[x)-) 证毕. x‖ 引理2对于5>0，存在0<专≤1，使得
·440 智能系统学报 第5卷 ‖a(x)-a,‖≤5，如果‖x-x,‖≤专 fs(x)不仅能够以任意精度一致逼近满足假设的任 证明由假设1和式(7)可知， 意非线性函数f(x),而且除有限数量的点外，能够 4()=()+）-x） 以任意精度逼近其导数7f(x). Ix 证明由于LFP是GFP的一个特例，由定理1 7f0)=a(0). 可知输人采用LP的齐次T-S模糊系统能够以任意 所以，a(x)在其定义域上连续的.又由式(8)，该引 精度一致逼近满足假设的任意非线性函数f(x), 理得证，证毕 由式(5)可得 定理3输入采用LFP的齐次T-S模糊系统 19Rx)-9fa()1)-ah()-h(x)a.I= 19)-Rx)+a())9h(x)-h()al- I)-及)+x)(-)+2(,-)(✉-) 9h()-a(-x)9h()-h()a.I- I)+Ax-))-A)(x)-a(✉-)()- h()a-()(-x)7h(x)e D. 由引理1可知， I-%I=Aax-)A倒+AA国a+2及-m-)A国1- 1ga-aee-)a因+2Aaa-ae》+号及气-9@X-a6国1≤线nem 由引理2可知，若川x-x‖充分小，则存在 能够以任意精度一致逼近待逼近函数.当输入模糊 V64>0,使得‖7f(x)-7fs(x)‖≤6k,x∈Dk.当 集数目取为14时，模糊系统逼近函数的三维图形如 x=x1,leL时，h(x)的左、右导数不一定相等，尽 图3所示，逼近误差如图4所示，显然，该模糊系统 管此时模糊系统对原函数的逼近误差为零，但对函 能够很好地一致逼近给定的非线性函数，若追求更 数导数的逼近误差可能相对较大.证毕. 高的逼近精度，可通过增加输入模糊集的数目来实 3仿真实例 现.该模糊系统对函数(x)的一次导数也具有较理 想的逼近效果，曲线由图5~6给出.因此，以上实验 为验证本文所得的理论结果，考虑两输人单输 验证了定理1和定理3所得的理论结果 出的齐次T-S模糊系统，待逼近非线性函数为 f(x）=sin6x1sin6x2: 1.0 式中：x=[1x2]∈[0,1]2.该函数的三维图形如图 0.5 1所示.对于输入采用GFP的齐次T-S模糊系统， -0.5- GFP采用均匀分布的全交叠三角形隶属函数，并且 -1. 1.0 每一维变量上的模糊集数目相等，分别选择不同数 0.5 目的输人模糊集进行仿真，得到如图2所示的一致 00.20.40.60.81.0 逼近误差与输入模糊集数目之间的曲线关系.由图 图1非线性函数f(r)=sin6x1sin6x2 中曲线可得，随着输入模糊集数目的增长，一致逼近 Fig.1 Nonlinear function f(x)=sin 6x sin 6x2 误差趋于零.即输入采用GFP的齐次T-S模糊系统
第5期 王宁，等：一般齐次TS模糊系统的逼近性能 ·441 0.30 察其存在的保守性，在以上仿真研究的基础上，由一 0.25 系列给定的逼近精度，根据定理2得到相应的所需 0.20 的模糊集数目N.进而分别获得相应模糊系统的实 0.15 际逼近误差，以验证和考察定理2所给出结果的有 0.10 0.05 效性和保守性.所得结果如表1所示，定理2所得模 05102030405060 糊集数目保证了模糊系统的逼近性能，具有一定 模制集数日 的有效性，但实际逼近误差往往远小于给定逼近误 差，体现了所得充分条件的保守性.尽管如此，定理 图2 一致逼近误差随输入模糊集数目的变化 Fig.2 Uniform approximation errors w.r.t the number of 2完全可用于决定模糊集数目的上限，具有一定的 input fuzzy sets 理论指导和实际应用价值。 表1定理2的有效性和保守性 1.0 0.5 Table 1 Validity and conservatism of Theorem 2 0 给定精度 定理2给出的充分条件N实际逼近精度 -0.5 -1.0 0.5 0.0419 1.0 0.5 00.20.40.60.81.0 0.4 16 0.0235 0.3 20 0.0099 图3模糊集数为14时的模糊系统 0.2 28 0.0079 Fig.3 Fuzzy system with each input using 14 fuzzy sets 0.1 53 0.0023 0.10- 0.05 4 结束语 -0.05 通过归纳常用模糊集的一般特性，明确定义了 0.10 0 种更为普遍的输入空间的模糊划分方法，称其为 0.5 00.20.40.60.81.0 一般模糊划分(GFP),常用的线性模糊划分(LFP) X 是其中的一个特例.通过分析得到了输入采用GFP 图4模糊集数为14时的逼近误差 的齐次T-S模糊系统的解析结构.进而，研究了该模 Fig.4 Approximation errors when using 14 fuzzy sets 糊系统的通用逼近性能和输入采用LFP的齐次T-S 导数 模糊系统对函数导数的逼近性能，并且给出了齐次 T-S模糊系统逼近任意非线性函数的充分条件.最 后，进行了仿真研究，结果验证了所得理论结果的有 0 逼近误差 0.20.40.60.81.0 效性，同时也考察了其存在的保守性.实际上，在非 0.5 0 线性系统建模与控制中，齐次T-S模糊系统的应用 更为广泛.并且与现有文献相比，本文所研究的齐次 图5f代x)对，的导数及其逼近误差 T-S模糊系统更为普遍.因此，所得理论结果对于模 Fig.5 Derivatives of f(r)w.r.t.x and approximation errors 糊系统的系统化分析与设计具有一定的理论意义和 导数 广阔的应用前景 赋 参考文献： 逼近误差 .0 [1]刘福才，陈超，邵慧，等.模糊系统万能逼近理论研究综 0.5 X: 00.20.40.60.81.0 述[J].智能系统学报，2007,2(1)：2534. LIU Fucai,CHEN Chao,SHAO Hui,et al.Researches for 图6f(x)对，2的导数及其逼近误差 universal approximation of fuzzy systems:a survey J]. Fig.6 Derivatives of f(r)w.r.t.and approximation errors CAAI Transactions on Intelligent Systems,2007,2 (1 ) 为验证定理2中所得充分条件的有效性，并考 25-34 [2]FENG G.A survey on analysis and design of model-based
·442. 智能系统学报 第5卷 fuzzy control systems[J].IEEE Transactions on Fuzzy Sys- [11]WANG HO,TANAKA K,GRIFFIN M F.An approach to tems,2006,14(5):676-697. fuzzy control of nonlinear systems:stability and design is- [3]YING H.Sufficient conditions on uniform approximation of sues[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1996,4 multivariate functions by general Takagi-Sugeno fuzzy sys- (1):14-23. tems with linear rule consequent[J].IEEE Transactions on [12]TANAKA K,IKEDA T,WANG H O.Fuzzy regulators Systems,Man,and Cybernetics,1998,28(4):515-520. and fuzzy observers:relaxed stability conditions and LMI- [4 ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.A comparative based designs[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems, study on sufficient conditions for Takagi-Sugeno fuzzy sys- 1998,6(2):250-265. tems as universal approximators[J].IEEE Transactions on [13]WANG HO,LI J,TANAKA K.T-S fuzzy model with lin- Fuzzy Sy9tems,2000,8(6):773-780. ear rule consequence and PDC controller:a universal [5]曾珂，张乃尧，徐文立.线性T-S模糊系统作为通用逼近 framework for nonlinear control systems[J].International 器的充分条件[J].自动化学报，2001,27(5)：606612. Journal of Fuzzy Systems,2003,5(2)106-113. ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Sufficient condition [14]王宁，孟宪尧.齐次T-S模糊系统的逼近性能[J].大连 for linear T-S fuzzy systems as universal approximators[J]. 海事大学学报，2007,33(3)：3641. Acta Automatica Sinica,2001,27(5):606-612. WANG Ning,MENG Xianyao.Approximation capabilities [6]曾珂，张乃尧，徐文立.典型T-S模糊系统是通用逼近器 of homogeneous T-S fuzzy systems[J].Joumnal of Dalian [J].控制理论与应用，2001,18(2)：293-297， Maritime University,2007,33(3):36-41. ZENG Ke,ZHANG Naiyao,XU Wenli.Typical T-S fuzzy 作者简介： systems are universal approximators[J].Control Theory and 王宁，男，1983年生，讲师、博士， Applications,2001,18(2):293-297. 主要研究方向为模糊系统、神经网络、 [7]刘福才，陈超，张彦柳.采样点个数对T-S模糊建模精度 船舶安全及智能控制等.发表学术论文 的影响[J].智能系统学报，2008,3(6)：541-547. 20余篇，其中被SCI检索2篇，EI检索 LIU Fucai,CHEN Chao,ZHANG Yanliu.The influence of 10余篇. sampling points on the descriptive performance of T-S fuzzy modeling[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2008,3(6):541-547. 谭跃，男，1954年生，教授，主要 [8]王宁，孟宪尧输入采用一般模糊划分的T-S模糊控制系 研究方向为船舶电力拖动和船舶智能 统稳定性分析[J].自动化学报，2008,34(11)：1441- 控制等.发表学术论文30余篇，其中被 1445. SCI、EI检索10余篇. WANG Ning,MENG Xianyao.Stability analysis of T-S fuzzy control system with inputs using general fuzzy partition [J].Acta Automatica Sinica,2008,34(11):1441-1445. [9]FUNTUZZI C,ROVATTI R.On the approximation capabil- 王丹，男，1960年生，教授、博士 ities of the homogenous Takagi-Sugeno model [C]//IEEE 生导师，主要研究方向为智能控制、自 International Conference on Fuzzy Systems.New Orleans, 适应控制、非线性系统及控制、故障诊 USA,1996:1067-1072. 断与容错控制等.在国内外重要学术刊 [10]TEIXEIRA M C M,ZAK S H.Stabilizing controller design 物上发表学术论文50余篇，其中被 for uncertain nonlinear systems using fuzzy models[J]. SCI、EI检索30余篇. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1999,7(2):133- 142