第6卷第2期 智能系统学报 Vol.6 No.2 2011年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2011 doi:10.3969/i.i8sn.1673-4785.2011.02.003 概率逻辑系统是与集合代数同态的布尔代数 刘宏岚，郝卫东 (北京科技大学信息工程学院，北京100083) 摘要：联结词的本质是命题的运算，只有对所有命题都适用的真值函数才能用于定义联结词.概率逻辑中由于命 题的内涵相关性，任何[0,1]上的函数都不能完全适用于任意命题的运算，概率逻辑的联结问不能定义成真值函数. 各种算子可以作为一种计算方法使用和研究，但不能代表一个逻辑系统研究系统的性质.概率逻辑系统是概率空间 的逻辑表示，是与概率空间中的事件域（集合代数）同态的布尔代数.用事件域上的集合函数精确定义各种联结词， 与经典二值逻辑相容，与事实相符，能够在经典逻辑框架内实现概率命题演算。 关键词：概率逻辑；集合代数；布尔代数；同态；真值函数 中图分类号：TP181文献标识码：A文章编号：16734785(2011)02010707 A probabilistic logic system as a Boolean algebra homomorphic with set algebra LIU Honglan,HAO Weidong (School of Information Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China) Abstract;Connectives are essentially operations on propositions,and only the true value functions applicable to all propositions can be used to define connectives.In probabilistic logic,any function on [0,1]is not completely ap- plicable for the operation on all propositions,and the connectives of probabilistic propositional logic cannot be de- fined as a true value function because of propositional relativity in connotation.Every operator may be discussed and employed as a method of calculation,but not as a logic system.A probabilistic propositional logic system is the logical description of a probabilistic space,and is a Boolean algebra homomorphic with set algebra that is the event domain in the probabilistic space.All connectives which are compatible with those in classical two-valued logic and which accord with fact can be defined exactly by set functions on event domains.The classical formal system of propositional calculus is completely applicable to probabilistic propositional calculus. Keywords:probabilistic propositional logic;set algebra;Boolean algebra;homomorphism;truth value function 各种近似推理和模糊推理理论的逻辑基础就是上，研究如何用逻辑的语言来进行概率演算.卡尔纳 各种概率逻辑和模糊逻辑系统，而逻辑系统的核心 普(Camap)概率逻辑和波普尔(Popper)概率逻辑是 是联结词的定义.各种概率逻辑、模糊逻辑系统对于 概率逻辑模型的2个典型代表12.令p、q表示任意 逻辑联结词定义了大量的算子，尤其是多种蕴涵算 命题，(p)表示命题p的真值，命题联结词定义为 子是各种近似推理的依据.但这些系统都未能从逻（一P)=1-v(P),v(pVq)=v(p)+v(q)- 辑学上给出定义联结词的合理性和客观依据，存在 (p八q)等.卡尔纳普和波普尔概率逻辑都不具备 大量的争论，如不适应经典公理系统，排中律不成 “真值函数性”，即一个公式的真值不能由其子公式 立等违背直觉和事实的情况 的真值完全确定231，如上述公式pVg的真值(pV q)不是只与(p)和(q)有关，还与(P∧q)有关， 1 概率逻辑系统分析 不能表示成(pVq)=f(v(p),v(q))的形式.真值v 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 不是命题的逻辑运算V到真值的数值计算f的同态 映射，则不能用[0,1]上的函数f表示V运算，实际 收稿日期：2010-0727. 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60873002,60573014) 应用中不方便计算和推理，不能在经典命题演算形 通信作者：刘宏岚.E-mail:honglanliu@ies.ustb.cdu.cn. 式系统内实现概率（真值）演算
·108 智能系统学报 第6卷 为了方便计算和推理，学者们一直在寻找函数 的命题是有惟一确定真值的陈述句.概率逻辑中的 (算子)来定义联结词，使得运算结果与事实相符并 命题表示惟一的随机事件.这种惟一性是一种从命 且有一个可靠的逻辑基础，各种非经典逻辑系统层 题域到事件域的函数关系，定义为取义函数”， 出不穷，包括Lukasiewicz系统、多种模糊逻辑和泛 p(P)表示命题p所表示的事件，通过命题表示的事 逻辑等都是以[0,1]上的真值函数的形式定义联结 件就可以精确地定义命题地关系和命题联结词，研 词.典型的如Lukasiewicz定义x=1-x,xVy= 究逻辑运算性质， max(x,y）,x∧y=min(x,y）,x,y∈[0,1].但如Za deh模糊逻辑，虽然在应用上取得成功，理论基础上 2 概率命题逻辑系统是概率空间的逻 却并非无懈可击，未能从逻辑学上找到模型存在的 辑表示 合理性和客观依据，所以并没有归入严密的逻辑系 统之中[34 2.1命题是随机事件的语言表示 数理逻辑中的符号是表义的，命题变量表示命 概率论中的随机事件有3种表示法5.如掷一 题包括内涵和真值，联结词表示命题的逻辑运算，蕴 颗骰子，样本空间2={1,2,3,4,5,6}，以下3种方 含、等值等表示命题的语义关系，人们习惯于通过真 法表示同一个事件.1)语言表示：“出现的点数不小 值函数研究命题的逻辑运算，这在经典二值逻辑中 于3”；2)集合表示：3,4,5,6}；3)随机变量表示： 确实可行.因为二值逻辑中，复合命题的真值只与成 若令随机变量x表示出现的点数，则上述事件表示 分命题的真值有关，而与成分命题的内涵无关，二值 为“x≥3”，概率论主要研究事件的集合表示和随机 逻辑系统同态于布尔代数({0,1}，一，V,A〉，所以 变量表示.概率逻辑主要研究事件的语言表示和集 联结词可定义成集合{0,1}上的真值函数，通过真 合表示。 值函数研究命题演算 随机事件的语言表示本质上正是无二义性的命 但概率逻辑中，命题的逻辑运算由命题内涵的 题.如著名的kasiewicz命题“明年12月21日中 关系决定.注意到命题相关性，各种模糊系统定义了 午，我将在华沙)”表示一个随机事件.概率逻辑中 多种算子如Zadeh算子、概率算子、有界算子等.泛 的命题表示随机事件，命题是对事件的发生作出判 逻辑甚至引入[0,1]上的相关系数来刻画命题的关 断，命题的真值就是事件发生的可能性大小，即事件 系，将相关系数作为参数定义联结词.如用函数 的概率，它满足概率的所有性质.本文用小写字母 N(x,k)、T(x,y,h)和S(x,y,h)定义x,、xAy和 p、q、r等表示命题，v(p)表示命题p的真值，用大写 字母A、B、C等表示事件或集合，为了与命题符号和 xVy,x,y,k,h∈[0,1]，k、h为相关系数.文中3.3 谓词符号区分开，用Pr(A)表示事件A的概率若命 将给出明确分析，Zadeh算子、概率算子等只是对某 题p表示的事件为A,则有(p)=Pr(A). 些特殊关系的命题成立，[0,1]上的任何函数都不 例1（原子命题表示随机事件）：设谓词P(x)表 能完全适用于任意命题的运算，只有对所有命题都 示“张三明年12月21日中午将在中国的x地区” 适用的真值函数才能用于定义联结词.概率逻辑中， 客体变量x取值为沈阳、辽宁、河北或中国等。令 “寻找[0,1]上的真值函数定义联结词”这一出发点 2={中国所有的城市}，X=20={⑦，{北京}， 本身就是不合理的9)，概率逻辑不能再通过真值函 {石家庄}，…，{台北}，河北={河北省城市}，…， 数研究命题演算，主观使用任何一种算子去讨论逻 海南={海南省城市}，东北={东北地区城市}，…， 辑运算性质，势必是盲人摸象，会出现如排中律不成 沿海={沿海城市}，…，中国={中国的城市{，其 立等与事实不符的现象，这些都是命题关系判断错 中2是2，的幂集，X是客体变量x的取值范围即 误，算子使用不当的结果。 客体域，也是概率空间(2，X,P)的事件域 本文既不是同经典逻辑的语构理论、脱离符号 令A表示沈阳(={沈阳市)，B表示辽宁(= 的含义、直接抽象地研究符号的演算：也不是如某些 {辽宁省城市})，命题P(B):“张三明年12月21日 多值逻辑、模糊逻辑等脱离命题内涵直接定义 中午将在（辽宁）”表示概率空间(2，X,P)中的随 [0,1]上的算子；而是从数理逻辑研究的基本对 机事件B,命题的真值等于事件B的概率，若张三 象一命题人手，明确了概率逻辑中的命题、真值与 等概率地出现在各个城市，则有真值(P(B))= 概率空间中的事件、概率的关系，并且与概率空间的 P(B)=IBI/I2I,其中IBI表示集合B中元素的 事件域相对，定义了命题域即命题的集合.逻辑学中 个数
第2期 刘宏岚，等：概率逻辑系统是与集合代数同态的布尔代数 ·109· 定义1（关系命题集合）称定义在一维概率空 即命题域对命题的逻辑运算是封闭的.命题域 间(2，X,P)上的原子命题的集合P(X)={P(x)I S是事件域X的逻辑表示.算上命题的真值和逻辑 x∈X}为关系命题集合，其中P(x)为谓词，X为客 运算，也可说命题域S是概率空间(2，X,P)的逻辑 体域或事件域，若2为有穷集，则X=2”.同一关系 表示.若2,2，…，2都是有穷集，则X,=2(i= 命题集合中的命题具有相同的谓词.关系命题集合 1,2,…,n),且X=2”.命题域S中的所有命题都表 P(X)是概率空间(2，X,Pr)的逻辑表示. 示(2，X,P一)中的事件.关系命题集合是一种特殊的 例2（复合命题表示随机事件）在例1中，关 命题域 系命题集合P(X)={P(x)Ix∈X}是概率空间(2， 一个命题表示一个惟一的事件，这种惟一性是 X,P)的逻辑表示.令谓词Q(y)表示“明天的离散 一种函数关系、所以可定义如下函数. 数学课将被安排在y时间上”，样本空间22=1,2， 定义3（取义函数）设命题域S是概率空间 3,4},集合元素表示第几节课客体域为Y=2= (2,X,P)的逻辑表示， {0,{1,{2},{3},{4},上午={1,2，{1,3，{1， p:S→X,Hq∈S,p(q)=命题g表示的事件 4},{2,3,{2,4},下午={3,4}，{1,2,3，{1,2， 则有v(q)=Pr(p(q)),命题q的真值等于q所表 4},{1,3,4},{2,3,4},2={1,2,3,4}.则关系命 示的事件的慨率.称函数”：S+X为命题的取义函 题集合Q(Y)={Q(y)Iy∈Y}是概率空间(22，Y, 数 Pr)的逻辑表示. 如在例1中，p(P(A))=A,(P(A))=Pr(A), 令2=2×22，C表示第1节课(={1})，D 在例2中，P(p)=B×D,p()=2×2-A×C, 表示上午(={1,2})，复合命题p=P(B)∧Q(D): p(t)=B×2U2×D. “张三明年12月21日中午将在（辽宁）且明天的离 Hp∈S,若p(p)=☑，则有v(p) 散数学课将被安排在（上午）上”表示二维概率空间 Pr((p))=Pr(☑)=0，称p为假命题，记做F. (2,2”,Pr)中的随机事件B×D,令命题q= 假命题表示不可能事件.Hp∈S,若p(p)=2, P(A)AQ(D),r=P(B)AQ(C),s=P(A)A (p)=Pr(p(p)=Pr(2)=1,称p为真命题，记 Q(C),t=P(B)VQ(D),它们都表示该概率空间 做T,真命题表示必然事件. 中的事件，其中： 2.2命题间的关系是命题所表示的事件间的关系 p表示事件B×D={(沈阳，1)，（沈阳，2）， 命题间的关系同事件间的关系相对，有蕴含、等 (大连，1)，（大连，2)，，IB×D1=1B1×D1; 义、不相容（交）等关系. q表示事件A×D={(沈阳，1)，（沈阳，2){； 定义4（命题的关系）设命题域S表示概率 r表示事件B×C={(沈阳，1)，（大连，1）， 空间(2，X,Pr),Hp,q∈S,p、q所表示的事件 …}; p(p),p(q)∈X,p、q之间的关系定义为： s表示事件A×C={(沈阳，1)； 1)p蕴含q,记作pCq,当且仅当p(p)二p(q) 一；s表示事件2×22-A×C; 2)p与q等义，记作p=q,当且仅当p(p)= P(A)表示事件A×2,1A×21=121=4; (q),即两命题等义当且仅当两命题所表示的事 t表示事件B×22U2×D. 件相等.命题等义则真值（概率）相等，反过来不一 定义2（命题域）设关系命题集合P,(X), 定成立 P2(X2),…,Pn（Xn)分别表示一维概率空间(2， 3)p与q不相容（交）当且仅当p(p)∩p(q)=☑. X,Pr),(2,X2,Pr),…,（2n,Xn,Pr),令2= 命题间的关系就是命题所表示的事件间的关 2×22×…×2n,命题域S是n维概率空间(2，X, 系.如例1中，命题P(A)蕴涵P(B)(A二B),所以 P)的逻辑表示，是命题的集合，定义如下： 当P(A)为真时，P(B)一定为真.例2中，由于AC 1)P(X),P2(X2),…,Pn(Xn)CS,即原子命 B,CCD,有AxCCB×CCB×D,A×CCA×DC 题属于命题域： B×D,B×DCB×22U2×D;所以命题s蕴涵p、q、 2)若命题p∈S,则一p∈S; r、t;命题q、r蕴涵p;p蕴涵t 2.3命题的逻辑运算是事件运算的逻辑表示 3)若命题p,q∈S,则pVq,P八q,P9∈S; 命题的逻辑运算是命题所表示事件的集合运算 4)可数个命题P1P2,…∈S,经过可数次的V、 的逻辑表示， A等复合运算后形成的复合命题f代p1P2,…)∈S. 定义5（命题的逻辑运算）设命题域S表示概
·110. 智能系统学报 第6卷 率空间(2，X,Pr),Hp,q∈S,p、q之间的逻辑运算 HqeS,p(p→q)=~(p)Up(q)=2,v(p→q）= 定义如下： Pr(2)=1,即p→9=T经典逻辑中“善意的推定” 1)合取：p(p∧q)=p(p)∩p(q),v(p∧q)= 当前件p为假时，后件的真值无论是多少，p→q= Pr(p(pAq)=Pr(p(p)∩p(q)),即合取命题表 T,与经典二值逻辑相容. 示的事件是命题表示的事件的交， 2.4概率逻辑系统是与事件域同态的布尔代数 2)析取：p(pVq)=p(p)Up(q),(pVq)= 设命题域S表示概率空间(2，X,P).事件域X Pr(p(pVq))=Pr(o(p)Uo(q)). 对集合运算封闭5，集合代数(X,U,∩，~，⑦，2) 3)取反：p(一p)=~p（p),v(一P)= 是布尔代数，同时满足结合律、分配律、摩根律、排中 Pr(p(P)）=Pr(~p(p)=1-Pr(p(p))=1- 律等.由定义2，命题域S对逻辑运算封闭，构成了 代数系统(S,V,A,一，F,T).定义5说明，取义函 (P),即互为否定的命题表示的事件互为对立（互 为补集). 数p:S→X是概率逻辑系统〈S,V,∧，一，F,T)到 4)蕴涵：p(p→9)=~p(p)Up(q)=p(一pV 集合代数(X,U,∩，~，☑，2)的同态映射，即p, q),(p→9)=Pr(~p(p)Up(q),由定义4的 qES,(-p)=~(p),(pAq)=(p)no(q), 2)得p9=一PV4 o(pVq)=o (p)Uo(q),(F)=B,o(T)=n 如例2中的命题，p(qAr)=p(g)∩p(r)=A× 定理1（命题逻辑运算性质）概率逻辑系统 DnB×C=A×C=p(s),有q∧r=s,v(qAr)= 〈S,V,∧，一，F,T)是布尔代数，逻辑运算满足所有 Pr(AxDOBxC)=v(s). 的命题定律、结合律、分配律、吸收律、摩根律、排中 例3设命题域S表示概率空间(2，X,Pr), 律等 Hp,q∈S,当p蕴含q即p(p)二p(q)时， 证明设命题域S表示概率空间(2，X,P).命 p(pAq)=p(p)∩(q)=p(p),由定义4中2) 题的取义函数p:S→X是概率逻辑系统(S,V,A, 有pAq=p; 一，F,T)到布尔代数的同态 (pVq)=o(p)U(q)=(q),pVq=q; 映射.Hp,9,r∈S,有： v(p-q)=Pr(o(pq))=Pr(~(p)Uo(q))= 1)分配律：由定义5且集合代数满足分配律 P(2)=1,即当蕴涵联结词“→”的前件成立时，后件 有，p(pA(gVr)=p(p)np(gVr)=p(p)n 也成立，v(p9)=1,与经典二值逻辑相容 (o(q)Uo(r))=((p)no(q))U(p(p)n 即当pCq时，pAq=p,pVq=q,Pg=T. (r))=((pAq)V(pAr)),由命题等义的定义 根据概率的单调性，HA,B∈X,若ACB,则 有pA(qVr)=(pAq)V(pAr).同理可证V对∧ Pr(A)≤Pr(B).所以若pCq,v(p)=Pr(p(p))≤ 可分配. Pr(p(q))=(q),即(p)≤(q).这时有， 2)摩根律：由定义5且集合代数满足摩根律 v(p A q)=Pr((p)no(q))= 有，((pΛq))=~p(pAq)=~(p(p)n Pr((p))=v(p)=min(v(p),v(q)), (q))=~(p)U~(q)=o(-P)Uo(-9)= v(p Vq)=Pr(o(p)U(q))=Pr((q))= v(q)=max(v(p),v(q)). (PV一q),所以一(Pp∧q)=一PV一4同理可 说明逻辑运算与事实相符，与二值逻辑相容。 证(pVq)=一PA一9成立. 如例1中，令P1=P(A),P2=P(B),由于AC 3)矛盾律，一PVp=F,排中律：一PVp=T B,即P1蕴含P2,有v(pAP2)=min((P1), u(p2))=0(pI),v(ppz)=Pr(~(pI)U p(pΛp)=~p(p)∩p（p)=☑， p(P2))=Pr(2)=1,如果命题P(沈阳)为真，则P (-PAP)=Pr(p(一pAp))=P(0)=0,由定 (辽宁)为真，与事实相符.令E=黑龙江={黑龙江义3，PAP=F. 省城市，3=P(E),由于B∩E=0,即P2与P3 (p Vp)=~(p)Uo(p)=0, 不相容，(p2P3)=0≠min(v(p2),(p3),与事 (pVp)=Pr(p(pVp))=Pr(2)=1,由定义 实相符，张三不可能同时出现在辽宁和黑龙江2个 地区，P2与P3不可能同时为真 3,-pVp=T. 特别当p为假命题，即p(p)=☑，v(p)=0, 幂等律、结合律、交换律等证明略，所以概率逻
第2期 刘宏岚，等：概率逻辑系统是与集合代数同态的布尔代数 ·111· 辑系统(S,V,A,一，F,T)是布尔代数 (p)V(q),(p∧q)=v(p)∧v(q)等4，同态象 说明依据这些常用的命题定律和置换规则， ({0,1},一，V,∧》就是抽去二值逻辑系统(S,一， 概率逻辑同样能在经典逻辑框架内实现命题的等义 V,∧〉中命题的内涵，只讨论真值，是对二值逻辑 演算，如(pAq)r=一(p∧q)Vr=一PV一qVr= 系统的一种抽象描述，反映了命题逻辑运算的真值 pV(-gVr)=p-(q). 运算特征， 所以经典二值逻辑可不考虑命题的内涵，直接 将联结词定义成{0,1上的真值函数，将命题公式 3 概率逻辑的联结词不能定义成[0， 看作真值函数，对公式中的命题变量指定真值，如文 1]上的真值函数 献[6]中对公式P1∧P2→P3的赋值，就是给命题变 量P1P2P3指定一组真值，如001、100等.二值逻辑 为了便于讨论问题，首先明确以下一些概念 直接通过真值函数研究命题演算，如果没有上述同 3.1命题公式与真值函数 态关系，这些做法不再适用. 命题公式是由命题变量、常量、联结词、括号等 3.3概率逻辑中的命题公式与真值函数 以规定的格式联结起来的符号串，递归定义见文献 在人工智能和机器翻译等实际应用中，参与推 [6,8].设以下定义中命题域S表示概率空间(2， 理和运算的命题内涵（语义）上都是有相互关系的， X,Pr). 概率命题的逻辑运算必须考虑命题的语义关系。设 1)命题公式（合式公式） 以下讨论中命题域S表示概率空间(2，X,P一). 命题公式本质上是关于命题的函数，其形式化 例4Hp,9∈S,设v(p)=0.3,(q)=0.5, 描述为f:S”→S,p1,P2,…,Pn∈S,f（p1,P2,…, 求(p∧q) Pn)∈S.如公式(p1,P2,P）=P1AP2P3 由定义5，v(Aq)=r(gpAg)=Pr(p(p)np(g). 2)真值函数形式化描述为g:[0,1]m→ 1)当两命题不相容时(p(p)∩p(q)=☑)： [0,1],x1,x2,…,xm∈[0,1]，g(x1,x2,…,xm）∈ (p∧q)=Pr(☑)=0. [0,l].Lukasiewicz多值系统和多种模糊系统都是 2)当p蕴含q时(p(p)Cp(q)):(p∧q)= 以真值函数的形式定义联结词，如一x=1~x, w(p)=0.3. xVy=max(x,y）,x,y∈[0,1].在模糊系统中，真 3)当两命题表示的事件彼此独立（这时称当两 值函数也称作算子. 命题独立)时： 3)集合函数h:X→X,VA1,A2,…,Ak∈X,h v(p A q)=Pr((p)np(q))= (A1,A2,…,A)∈X,X为事件域.如集合函数~(A Pr(p(p))×Pr(p(q))= ∩B)UC.定义5即是用事件域X上的集合函数定 (p)×(q)=0.5×0.3=0.15, 义命题的逻辑运算， 真值相同的不同命题，逻辑运算结果不同.复合 4)命题的真值v:S→[0,1]，p∈S,v(p)e 命题的真值与成分命题的内涵有关，并不是只与成 [0,1]. 分命题的真值有关 5)取义函数p:S+X与真值v相对.集合函数 1)Lukasiewicz定义的∧、V算子只对具有蕴含 与真值函数相对，都是用来研究命题演算的工具 关系的命题成立 3.2二值逻辑中的命题公式与真值函数 在例3中讨论过，当pCq或qCP时： 在经典二值逻辑中，命题逻辑运算结果（仍然 v(pAq)=min(v(p),v(q)),v(pVq)=max(v(p), 是命题)的真值只与参与运算的命题的真值有关， (q).这时，集合S上的命题的逻辑运算V(析 而与这些命题的内涵无关.设S,为二值逻辑中所有 取)，∧（合取）通过真值：S→[0,1]映射到[0,1] 命题的集合，若在{0,1}上定义以下真值函数： 上的ukasiewicz算子xVy=max(x,y）,x∧y= =1-x,xVy=max(x,y）,xAy=min(x,y）,x, min(x,y）,x,y∈[0,1]，即当p与q是蕴含关系时， 有(pAq)=(p)∧(q),(pVq)=(p)Vv(q). y∈{0,1}，则命题的真值v:S,→{0,1}是二值逻辑 其他情况下，该式不再成立.错误的使用就会导致所 系统S,一V,A)到布尔代数{0,1}，一，V,∧) 谓的“排中律不成立”等现象：如当p≠T,F时，由 的同态，即Vp,q∈，（一p)=(p),v(pVq)= 于p与一P不具备蕴含关系（集合p(p)与~p(p)
·112: 智能系统学报 第6卷 互补，不具备包含关系)，由定理1，(pV一P)=1; 1].然后再研究[0,1]上这些假设存在的运算和函 数的性质，认为这些性质就是多值命题的逻辑运算 而不是v(pVP)=max((p),v(一p)≠1，排中 性质，而事实是，真值)不是同态，真值运算的性质 律不成立， 并不代表逻辑运算的性质，所以才会出现不适应经 2)概率算子只对具有独立关系的命题成立， 典公理系统、排中律不成立等问题. 当命题p、q相互独立时，由定义5易得，v(PA 概率逻辑系统〈S,V,八，一〉与布尔代数〈X, q)=(p)(q)和(pVq)=(p)+(q)-v(p) U,∩，~)同态，后者的运算性质和关系抽象地反 (q).这时，集合S上的命题的逻辑运算V、∧通过 映了前者的运算性质和关系，可通过事件域X上的 映射：S→[0,1]映射到[0,1]上的概率算子x⊕ 集合函数定义各种逻辑联结词，因此实现在逻辑框 y=x+y-x×y,x⊙y=x×y,x,y∈[0,1]，即当p 架内的命题演算 与q相互独立时，有v(pAq)=v(p)⑧v(q), (pVq)=(p)④v(g).其他情况下，该式不再成 4 结束语 立.错误地使用，就会出现“幂等律不成立”等现象： 本文明确了概率逻辑系统与概率空间的关系， 如HpeS,因为pCp,所以v(pVp)=(p);而不 明确了概率命题运算、集合（事件）运算和真值运算 是(pVp)=v(p)④u(p)≠(p),幂等律不成立. 间的关系，其中，命题运算与集合运算之间有同态关 3)对于具有相交而非蕴含关系的命题，概率逻 辑中的联结词无法定义成真值函数的形式. 系，后者是前者的抽象描述，可以通过集合的关系和 运算抽象地研究命题的关系和运算.但概率命题运 如对于v(p∧q)=Pr(p(p)np(q)),当 算与真值运算之间没有同态关系，那些假设二者间 p(p)∩p(q)≠☑且p(p)∩p(q)≠p(p)且p(p)n 存在同态，而主观地用[0,1]上的真值运算定义命 p(q)≠p(q)时，pAq的真值由集合运算p(p)n p(q)决定，无法表示成函数v(p∧q)=f(v(p), 题运算的做法是不对的，所谓的“不适应经典公理 系统、排中律不成立”等问题，只是命题关系判断错 (q)的形式，这时映射v:S→[0,1]不能把联结词 误、算子使用不当的结果 八映射到[0,1]上的任何函数，即[0,1]上的任何函 数都不能准确定义联结词， 概率逻辑中，[0,1]上的任何函数都不能准确 真值不能体现命题的内涵，仅通过真值更无法 定义命题联结词，因为多种算子和模糊推理等方法 判断命题的关系、选择算子，在命题的多项式演算 适用于某些特殊情况，所以可以在某些应用领域如 自动控制作为计算模型使用，但算子的性质决不代 中，只有处处适用的真值函数才能用于定义命题联 结词，并研究命题的逻辑运算与推理，概率逻辑中不 表整个逻辑系统的性质.概率逻辑系统(S,V,∧， 存在[0,1]上的真值函数使∧、V等满足如下性质： 一，F,T)与布尔代数(X,U,∩，~，☑，2)同态，经 对所有的p,9∈S,满足1)u(pVq)=(p)V(q); 典命题演算的形式系统完全适用于概率命题演算. 2)v(pAq)=(P)Av(q),而无论p、9是什么关系. 参考文献： 即概率逻辑中的真值v:S→[0,1]不再是同态映射 同态是2个代数系统包括集合S和集合[0,1]、命 [1]王万森，何华灿.基于泛逻辑学的逻辑关系柔性化研究 题运算和真值运算之间的映射关系，必须得对集合 [J].软件学报，2005,16(5)：754。 当中所有的元素都满足1)、2)才叫同态，部分元素 WANG Wansen,HE Huacan.Research on flexibility of log- 和元素间的某些映射关系如概率算子等不是同态 ic relation based on universal logics[J].Journal of Soft- 只有2个系统真正的同态，如二值命题系统 ware,2005,16(5):754. (S,一，V,八〉与布尔代数({0,1}，，V、∧)同 [2]杨炳儒。知识工程与知识发现[M].北京：冶金工业出 版社，2000：76. 态，才能通过研究后者的运算性质来抽象地研究前 [3]GABBAY D M,GUENTHNER F.Handbook of philosophi- 者的性质.很多定义算子的模糊逻辑如Zadeh系统 cal logic[M].2nd ed.London:Kluwer Academic publish- 是基于一个未经证明的基本假设；即：S→[0,1]是 ers,2001:53. 同态映射，认为[0,1]上应当有与S中的V、∧等相 [4]王国俊.非经典数理逻辑与近似推理[M].北京：科学 对应的真值运算.任意命题公式如代P1P2P3)= 出版社，2000：7. P1AP2→P3,P1,P2,P3∈S,应当有与之相对应的真值 [5]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M]. 函数，如f(p1P2,P3）=P1AP2→P3,P1,P2,P3∈[0， 北京：高等教育出版社，2004：4
第2期 刘宏岚，等：概率逻辑系统是与集合代数同态的布尔代数 ·113· [6]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：高等教 [10]GAO Qingshi,GAO Xiaoyu,HU Yue.A new fuzzy set 育出版社，2008：3. theory satisfying all classical set formulas[J].Joumal of [7]刘宏岚，高庆衡，杨炳儒。概率逻辑中的命题相关性与 Computer Science and Technology:English Edition, 逻辑运算[J].北京科技大学学报，2008,30(9)：1079 2009,24(4):798. LIU Honglan,GAO Qingshi,YANG Bingru.Proposition 作者简介： relativity and logic calculation in probabilistic logic[J]. 刘宏岚，1973生，女，博士，主要研 Joumnal of University of Science and Technology Beijing, 究方向为自然语言理解、机器翻译、模 2008,30(9):1079. 糊集合理论的研究与应用、离散数学 [8]杜国平，经典逻辑与非经典逻辑基础[M],北京：高等 等.发表学术论文多篇 教育出版社，2006：9. [9]刘宏岚，高庆狮，杨炳儒.概率命题逻辑中命题相等关 系的两个层面与命题演算[J].哲学研究，2009,10： 郝卫东，1970生，男，博士，主要研 113. 究方向为计算机网络、模糊集合理论的 LIU Honglan,GAO Qingshi,YANG Bingru.The two layers 研究与应用.发表学术论文多篇. of propositional equivalence and the propositional calculus in probabilistic propositional logic[J].Philosophical Resear- che8,2009,10:113. 2011年全国软件与应用学术会议 National Software Application Conference 2011 中国计算机学会主办，软件工程专委、系统软件专委和吉林大学承办的"2011年全国软件与应用学术会 议NASAC2011",将于2011年10月28日~30日在长春举行.大会将设置特邀报告、论文大会报告、专题 workshop、张贴论文、软件系统原型和产品展示等多种学术交流形式，会议还将与《软件学报》和《计算机学 报》合作组织专题特约报告，为与会代表提供丰富的交流平台.会议将出版论文集，并拟将评选出的优秀论 文推荐到《电子学报》等杂志. 一、征文范围（但不限于下列内容） 1.需求工程；2.构件技术与软件复用；3.面向对象与软件Agent;4.软件体系结构与设计模式；5.软 件开发方法及自动化；6.软件过程管理与改进；7.软件质量、测试与验证；8.软件再工程；9.软件工具与 环境；10.软件理论与形式化方法；11.操作系统；12.软件中间件与应用集成；13.分布式系统及应用；14. 软件语言与编译；15.软件标准与规范；16.软件技术教育；17.计算机应用软件. 二、论文要求 1.论文必须未在杂志和会议上发表和录用过， 2.论文篇幅限定8页(A4纸)内 3.会议只接受电子文档PDP格式提交论文.论文格式的详细要求请参照软件学报投稿文章格式， 4.投稿方式采用在线投稿：htp://www.easychair.org/conferences/?conf=nasac2011 三、重要日期 论文征稿截止日期：2011年7月5日 论文录用通知日期：2011年8月15日 四、联系方式 联系人：王剑飚，鲍锋 吉林大学计算机科学与技术学院(130012) 联系电话：0431-85166269,0431-85159420 NASAC2011会议网址：http:/csw.jlu.edu.cn/NASAC2011