因之行列式差一个符号(-1)；第二步是同样地把第j列换到第n列：再利用（⑤）与显然的关系 (-1)2=(-1/即得(4) 定义8上面所谈到A的称为元素a,的代数余子式. 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和在(1)中，如果 令第1行的元素等于另外一行，譬如说第k行的元素，也就是a,=a,j=1,.,n,k≠1.于是 a1:·an a1.a a1t.+anAn=. 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代 数余子式的乘积之和为零. 基于行列式中行与列的对称性，在以上的公式和讨论中把行换成列也一样综上所述，即得 定理3设 d=a.a . A表示元素a,的代数余子式，则下列公式成立 +a4+.+a4=当k=4 (6) 0,当k≠i 〔d,当l=j, 0,当1≠j (7) 用连加号简写为 d,当k=i, d,当1=， 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)减(7)不一定能简化计算，因为把一个n级行列式的计算 换成n个(n-)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应 用公式(6)或(7)才有意义但这两个公式在理论上是重要的， 因之行列式差一个符号 ( 1)n i − − ;第二步是同样地把第 j 列换到第 n 列;再利用(5) 与显然的关系 2 ( ) ( 1) ( 1) n i j i j − + + − = − 即得(4). 定义 8 上面所谈到 Aij 的称为元素 ij a 的代数余子式. 这样,公式(1)就是说,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中,如果 令第 i 行的元素等于另外一行,譬如说,第 k 行的元素,也就是 , 1, , , . ij kj a a j n k i = =  于是 11 1 1 1 1 1 1 n k kn k i kn in k kn n nn a a a a a A a A a a a a + + = 第 i 行 右端的行列式含有两个相同的行,应该为零,这就是说,在行列式中,一行的元素与另一行相应元素的代 数余子式的乘积之和为零. 基于行列式中行与列的对称性,在以上的公式和讨论中把行换成列也一样.综上所述,即得 定理 3 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a d a a a = Aij 表示元素 ij a 的代数余子式,则下列公式成立: 1 1 2 2 , , (6) 0, . k i k i kn in d k i a A a A a A k i  = + + + =    当 当 1 1 2 2 , , (7) 0, . l j l j nl nj d l j a A a A a A l j  = + + + =    当 当 用连加号简写为 1 n ks is s a A =  , , 0, . d k i k i  = =    当 当 1 n sl sj s a A =  , , 0, . d l j l j  = =    当 当 在计算数字行列式时,直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算,因为把一个 n 级行列式的计算 换成 n 个 ( 1) n − 级行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应 用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的