例1行列式 53-120 17252 53-12 88e8;-2s -23- 0-4-140 235 02350 0235 =-10[(-2)(-1)5+(-4)3刂+2·3.4-1(-1)2-(-2)34-3(-4)5 =-1010-12+24+2+24+60]=-1080. 这里第一步是按第5列展开，然后再按第一列展开，这样就归结到一个三级行列式的计算 例2行列式 1 11 1 a . a (8) aaag.al 称为n级的范德蒙(Vandermonde)行列式我们来证明，对任意的n(n之2)，n级范德蒙行列式等于 a,a,.,an这n个数的所有可能的差a,-a,1≤j<i≤m)的乘积 我们对n作归纳法。 当n=2时 111 4aa-4, 结果是对的.设对于n一1级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n级的情形 在(8)中，第n行减去第n-1行的a倍，第n-1行减去第n-2行的a倍.也就是由下而上依次地从 每一行减去它上一行的4倍，有 0a2-a 43-41 a.-a d=0 a-ad, a-ads a;-ad 44 0a-aa2a-aa.a-aa2例 1 行列式 5 3 1 2 0 1 7 2 5 2 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 5 0 − − − − 2 5 5 3 1 2 0 2 3 1 ( 1) 2 0 4 1 4 0 2 3 5 + − − = − − − 2 3 1 2 5 4 1 4 2 3 5 − − = −  − − = − −  −  + −   10[( 2) ( 1) 5 ( 4) 3 1] +   −  −  − −   −  −  2 3 4 1 ( 1) 2 ( 2) 3 4 3 ( 4) 5 = − − + + + + = − 10[10 12 24 2 24 60] 1080. 这里第一步是按第 5 列展开,然后再按第一列展开,这样就归结到一个三级行列式的计算. 例 2 行列式 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 (8) n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a − − − − = 称为 n 级的范德蒙( Vandermonde )行列式.我们来证明,对任意的 n n( 2)  , n 级范德蒙行列式等于 1 2 , , , n a a a 这 n 个数的所有可能的差 (1 ) i j a a j i n −    的乘积. 我们对 n 作归纳法. 当 n = 2 时 2 1 1 2 1 1 a a , a a = − 结果是对的.设对于 n−1 级的范德蒙行列式结论成立,现在来看 n 级的情形. 在(8)中,第 n 行减去第 n−1 行的 1 a 倍,第 n−1 行减去第 n − 2 行的 1 a 倍.也就是由下而上依次地从 每一行减去它上一行的 1 a 倍,有 2 1 3 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 0 0 0 n n n n n n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − − − = − − − − − −