a.-a 1aj-aa aj-aa aj-aa 0t0 ag-aat?ag1-aay?.ami-aa? h 1. 1 a3.a =(a-aa,-a.(an-a)a .a 242.a 后面这行列式是一个n一1级的范德蒙行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差 a,-a,(2≤j<iS川的乘积，而包含a的差全在前面出现了.因之，结论对n级范德蒙行列式也成立根 据数学归纳法完成了证明 用连乘号，这个结果可以简写为 1 . .a .a II (a,-a,) a 由这个结果立即得出，范德蒙行列式为零的充分必要条件是4,4，·，a,这n个数中至少有两个相等 例3证明 %.ak0.0 0 a. G. 4.abb ea.tb1.bn 我们对k用数学归纳法 当k=1时，(9)的左端为 a0.0 :. lc1b1.bn 按第一行展开，就得到所要的结论 2 1 3 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1 n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a d a a a a a a a a a − − − − − − − − − − − − = − − − 2 3 2 2 2 2 1 3 1 1 2 3 2 2 2 2 3 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a − − − = − − − 后 面 这 行 列 式 是 一 个 n−1 级 的 范 德 蒙 行 列 式 , 根 据 归 纳 法 假 设 , 它 等 于 所 有 可 能 差 (2 ) i j a a j i n −    的乘积;而包含 1 a 的差全在前面出现了.因之,结论对 n 级范德蒙行列式也成立.根 据数学归纳法,完成了证明. 用连乘号,这个结果可以简写为 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) n n i j j i n n n n n a a a a a a a a a a a    − − − = − 由这个结果立即得出,范德蒙行列式为零的充分必要条件是 1 2 , , , n a a a 这 n 个数中至少有两个相等 例 3 证明 11 1 1 11 1 11 1 1 1 0 0 0 0 k k kk k r r rk r rr a a a a c c b b c c b b 11 1 1 k k kk a a a a = 11 1 1 r r rr b b b b 我们对 k 用数学归纳法. 当 k =1 时,(9)的左端为 11 11 11 1 1 1 0 0 r r r rr a c b b c b b 按第一行展开,就得到所要的结论