称为元素a,的余子式记为Mu ananan 按这个定义，(2)可以政写为a!a2ag=a1M,-azM2+aMg下面就来证明 as asass A=(-1M 为此，我们先由行列式的定义证明n级与-1级行列式的下面这个关系 du-l dia a- . an an a2 (5) dr-l d-22 00 .0 1 an-uan-2.an-n-l 事实上，（⑤）式左端行列式的展开式 ∑(-la46.a.中只有=n的项 才可能不为零，而an=1,因之左端为∑(-a46.an-0,显然是 1,2,.,n-1的排列，且x(U2.jnn)=t(2.jn）这就证明了(5) 为了证明(4，在()中令a1=.=a=a41=.=am=0,a=1,即得 a1.a-1ayal.am a1.a-ayaH.an a-.a-ha-wa-.a- au.a-aa-.an 4= 010.0 =(-lya-u.aw-a4wawm.a4 0. am.anj-i dnj anjt.am 0.01 0.0 =(-1)2-》M=(-IM . a.ds.-d.amay 10·00 .01 这里，第一步是依次地把第i行与它下边的一行对换，直到把它换到第n行为止，这样一共换了n-1次，称为元素 ij a 的余子式.记为 MIJ . 按这个定义,(2)可以改写为 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 . a a a a a a a M a M a M a a a = − + 下面就来证明 ( 1)i j A M ij ij + = − (4) 为此,我们先由行列式的定义证明 n 级与 n−1 级行列式的下面这个关系 11 12 1, 1 1 21 22 2, 1 2 1,1 2,2 1, 1 1, 0 0 0 1 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a − − − − − − − 11 12 1, 1 21 22 2, 1 1,1 1,2 1, 1 n n n n n n a a a a a a a a a − − − − − − = . (5) 事实上,(5)式左端行列式的展开式 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n n n n j j j j j j n j nj j j j j a a a a  − − −  − − 中只有 n j n = 的项 才可能不为零,而 1 nn a = ,因之左端为 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n n n n j j j j j j n j nj j j j j a a a a  − − −  − − .显然 1 2 1 n j j j − 是 1,2, , 1 n − 的排列,且 1 2 1 ( ) n   j j j n− = 1 2 1 ( ) n j j j − .这就证明了(5). 为了证明(4),在(1)中令 1 , 1 , 1 0, 1 i i j i j in ij a a a a a = = = = = = = − + ,即得 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 0 0 1 0 0 j j j n i i j i j i j i n ij i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a − + − − − − − + − + + − + + + + − + = 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 ( 1) 0 0 1 0 0 j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − − + + − + + + + − + = − 11 1, 1 1 1 1 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, ( ) ( ) 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 , 1 , 1 ( 1) 0 0 0 0 1 j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i n i j n n j n j nn nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − − + − + + − + + + + − + = − 2 ( ) ( 1) ( 1) . n i j i j M M ij ij − + + = − = − 这里,第一步是依次地把第 i 行与它下边的一行对换,直到把它换到第 n 行为止,这样一共换了 n i − 次