王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 413 N=-产+----+ Ech2 2DeH-m-h2 u-P--0后I-hnP-峒 (16) M=D候+园+aI-P- 1- 从式(12)和式(15)中可以看出，无论是产生 其中： C翘还是L翘，双层结构的金属层合板的翘曲位 8e=e90y,-h2)-g0y,-H/2) 移均为二次曲线. Es=e90y,h2)-e20y,-2) (18) 1.2三层结构的层合板 sc=s(y,H/2)-s(y,h2) 假设三层结构金属层合板塑性应变在各层沿 同样，基于薄板线弹性直法线假设 厚度方向线性且连续分布，其它方向应变均为零， (Kirchhoff假设)，当金属层合板产生C翘时，假设 基层沿厚度方向的应变差如式(17)和(18)所示. 厚度：方向中性面的位移w与长度x无关；当金属 90,z)= Ec 层合板产生L翘时，假设厚度：方向中性面位移 e20y,z)= Es (-h2≤z<h2) w与宽度y无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式(3)所示，应变如式(4)所示.同时考虑到金属 6,n而2+号 Ech2 伽：e) 层合板不同金属层力学性能的差异，推导应力应 =9-y州=y9=y2=0 变关系如式(5)所示.将式(17)和式(4)代入式 (17) (5).可得： 82w 0x= 1-a+e2+7 + /2-h2 sch2 Es H/2-2-2 -Ece「2w -w 0y= 1-2a2+ea+H2-n2+ (-H/2≤z<-h2) (19) VeEch2 VeEs H2-h22] Bw T=GeY=-2GeBady -Esz [o2w 82w Es 0x= 1-a脉+%+应 0y= -Esz [o2w &2w vsEs 1-2+%a+2m (-h2≤z<h2) (20) 82w Tsy=GsYsy=-2G.axdy -Ec [w 82w 0x= 1-a丽+e+a2-2 sch2 Es H/2-h2 -Ec [&w 82w VeEc Oy= 1-v 0y++ (21) 2-g2- (h2≤z≤H2) VeEch2 H2-h2 2 02w Txy GeYxy=-22Gc 0xoy   N = − 1 3 Ds εs h1 +h2 ( h 3 1 +h 3 2 ) − 1 3 Dc εc H −h1 −h2 [ (H −h1) 3 −h 3 2 ] + 1 2 Dc εch2 H −h1 −h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dc εsh2 h1 +h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] M = 2 3 [ Ds ( h 3 1 +h 3 2 ) + Dc [ (H −h1) 3 −h 3 2 ]] Di = Ei 1−ν 2 i （16） 从式（12）和式（15）中可以看出，无论是产生 C 翘还是 L 翘，双层结构的金属层合板的翘曲位 移均为二次曲线. 1.2    三层结构的层合板 假设三层结构金属层合板塑性应变在各层沿 厚度方向线性且连续分布，其它方向应变均为零， 基层沿厚度方向的应变差如式（17）和（18）所示.    ε 0 x (y,z) = εc H/2−h2 z+ εch2 H/2−h2 − εs 2 ( − H 2 ⩽ z < −h2 ) ε 0 x (y,z) = εs 2h2 z (−h2 ⩽ z < h2) ε 0 x (y,z) = εc H/2−h2 z− εch2 H/2−h2 + εs 2 ( h2 ⩽ z ⩽ H 2 ) ε 0 y = ε 0 z = γ 0 xy = γ 0 yz = γ 0 xz = 0 （17） 其中：    εc = ε 0 x (y,−h2)−ε 0 x (y,−H/2) εs = ε 0 x (y,h2)−ε 0 x (y,−h2) εc = ε 0 x (y,H/2)−ε 0 x (y,h2) （18） 同 样 ， 基 于 薄 板 线 弹 性 直 法 线 假 设 （Kirchhoff 假设），当金属层合板产生 C 翘时，假设 厚度 z 方向中性面的位移 w 与长度 x 无关；当金属 层合板产生 L 翘时，假设厚度 z 方向中性面位移 w 与宽度 y 无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式（3）所示，应变如式（4）所示. 同时考虑到金属 层合板不同金属层力学性能的差异，推导应力应 变关系如式（ 5）所示. 将式（ 17）和式（ 4）代入式 （5），可得：    σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 + εc H/2−h2 z+ εch2 H/2−h2 − εs 2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 + νcεc H/2−h2 z+ νcεch2 H/2−h2 − νcεs 2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y (−H/2 ⩽ z < −h2) （19）    σx = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂x 2 +νs ∂ 2w ∂y 2 + εs 2h2 ] σy = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂y 2 +νs ∂ 2w ∂x 2 + νsεs 2h2 ] (−h2 ⩽ z < h2) τxy = Gsγxy = −2zGs ∂ 2w ∂x∂y （20）    σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 + εc H/2−h2 z− εch2 H/2−h2 + εs 2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 + νcεc H/2−h2 z− νcεch2 H/2−h2 + νcεs 2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y (h2 ⩽ z ⩽ H/2) （21） 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 413 ·