414 工程科学学报，第43卷，第3期 推导建立三层结构金属层合板翘曲过程，弯 从式(24)和式(27)中可以看出，无论是产生 矩和扭矩与应力之间的关系如下： C翘还是L翘，三层结构金属层合板的翘曲位移 M:=ddod 同样为二次曲线 M,=20,+,o,d+P,d 2层合板板形翘曲的有限元模型 Moy-My=d 2.1建模过程 (22) 本文针对总厚度H为5mm,长度L为3000mm, 假定层合板产生C翘时中间位置的挠度和弯 宽度B为1500mm,不锈钢与碳钢厚度比为1/4的 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边 不锈钢/碳钢层合板，铜与碳钢厚度比为1/4的铜/ w(0)=0, O=0,M,(±B/2)=0 (23) 碳钢层合板进行建模计算.后续无特殊说明均采 y 用该尺寸进行分析 联立式(3)、(22)、(23)求解得三层结构金属 考虑到板形翘曲缺陷的产生与金属层合板厚 层合板C翘厚度方向的位移如下： 度方向的应力分布不均匀密切相关.因此，本文对 u=0 翘曲变形进行仿真分析的过程中选取三维实体单 2N V= 元，不同种类的金属层间采用绑定进行设置.金属 (24) 层合板基层和覆层材料的力学性能如表1所示 w=- 表1金属层合板力学性能 式中： Table 1 Mechanical properties of metal laminates N=-写Dws居-产因2-+ Metal laminates Material E/GPa G/GPa Copper/carbon steel T2/Q23510821041/810.32/0.3 na2P--DaP-周 Stainless steel/carbon steel 304/Q235202/21078/810.3/0.3 M=D.2P-+D, 选取金属层合板下表面（双层结构层合板的 Ei D=1- 基层表面，三层结构层合板的覆层表面)中心点为 (25) 坐标原点，考虑到结构的对称性，在=0处施加宽 度方向的约束，在x=0处施加长度方向的约束，同 同样，L翘时边界条件如下： 时在坐标原点处施加厚度方向的约束.当在线轧 w(0)=0, awO=0,M(±L/2=0 (26) 制或连续处理时，金属层合板呈带状并在工艺张 联立式(3)、(22)、(26)求解得金属层合板L 力拖动下前进，因此，当选取部分层合板进行研究 翘厚度方向的位移如下： 时，假设层合板沿纵向是无限长的，其横截面上各 u=0 节点沿长度方向的位移量相同，故将两个横截面 2N 沿长度方向的位移加以耦合，当金属层合板离线 V= (27) 后，根据用户需要可能被裁切成块状，对于已经横 W=- 切成板的金属层合板，只需施加对称约束 为了分析金属层合板在厚度方向上不均匀分 式中： 布的塑性延伸对其板形翘曲的影响，本文通过对 -0s---+ 金属层合板施加不同的温度应力场来给定层合板 内部应力，对于铜碳钢层合板而言，选取碳钢层 .p..ut 长度方向的线膨胀系数为a=1×10,铜层长度方 向的线膨胀系数为a=1.94×105.对于不锈钢/碳钢 M-DH2P-局+D,园 层合板而言，选取碳钢层长度方向的线膨胀系数 为a,=1×10,不锈钢层长度方向的线膨胀系数为 a。=l.04×10.无论铜/碳钢层合板还是不锈钢/碳钢 (28) 层合板，基层和覆层材料宽度和厚度方向的线膨推导建立三层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩和扭矩与应力之间的关系如下：    Mx = r −h2 −H/2 zσxdz+ r h2 −h2 zσxdz+ r H/2 h2 zσxdz My = r −h2 −H/2 zσydz+ r h2 −h2 zσydz+ r H/2 h2 zσydz Mxy = Myx = r −h2 −H/2 zτxydz+ r h2 −h2 zτxydz+ r H/2 h2 zτxydz （22） 假定层合板产生 C 翘时中间位置的挠度和弯 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边. w(0) = 0, ∂w(0) ∂y = 0 , My (±B/2) = 0 （23） 联立式（3）、（22）、（23）求解得三层结构金属 层合板 C 翘厚度方向的位移如下：    u = 0 v = 2N M yz w = − N M y 2 （24） 式中：    N = − 1 3 Dsνsεsh 2 2 − 2 3 Dc νcεc H/2−h2 [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dc νcεch2 H/2−h2 [ (H/2) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dcνcεs [ (H/2) 2 −h 2 2 ] M = 4 3 [ Dc [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dsh 3 2 ] Di = Ei 1−ν 2 i （25） 同样，L 翘时边界条件如下： w(0) = 0, ∂w(0) ∂x = 0 , Mx (±L/2) = 0 （26） 联立式（3）、（22）、（26）求解得金属层合板 L 翘厚度方向的位移如下：    u = 0 v = 2N M xz w = − N M x 2 （27） 式中：    N = − 1 3 Dsεsh 2 2 − 2 3 Dc εc H/2−h2 [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dc εch2 H/2−h2 [ (H/2) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dcεs [ (H/2) 2 −h 2 2 ] M = 4 3 [ Dc [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dsh 3 2 ] Di = Ei 1−µ 2 i （28） 从式（24）和式（27）中可以看出，无论是产生 C 翘还是 L 翘，三层结构金属层合板的翘曲位移 同样为二次曲线. 2    层合板板形翘曲的有限元模型 2.1    建模过程 本文针对总厚度 H 为 5 mm，长度 L 为 3000 mm， 宽度 B 为 1500 mm，不锈钢与碳钢厚度比为 1/4 的 不锈钢/碳钢层合板，铜与碳钢厚度比为 1/4 的铜/ 碳钢层合板进行建模计算. 后续无特殊说明均采 用该尺寸进行分析. 考虑到板形翘曲缺陷的产生与金属层合板厚 度方向的应力分布不均匀密切相关. 因此，本文对 翘曲变形进行仿真分析的过程中选取三维实体单 元，不同种类的金属层间采用绑定进行设置. 金属 层合板基层和覆层材料的力学性能如表 1 所示. 表 1 金属层合板力学性能 Table 1   Mechanical properties of metal laminates Metal laminates Material E / GPa G/GPa ν Copper / carbon steel T2/ Q235 108/210 41/81 0.32/0.3 Stainless steel/carbon steel 304/ Q235 202/210 78/81 0.3/0.3 选取金属层合板下表面（双层结构层合板的 基层表面，三层结构层合板的覆层表面）中心点为 坐标原点，考虑到结构的对称性，在 y=0 处施加宽 度方向的约束，在 x=0 处施加长度方向的约束，同 时在坐标原点处施加厚度方向的约束. 当在线轧 制或连续处理时，金属层合板呈带状并在工艺张 力拖动下前进，因此，当选取部分层合板进行研究 时，假设层合板沿纵向是无限长的，其横截面上各 节点沿长度方向的位移量相同，故将两个横截面 沿长度方向的位移加以耦合. 当金属层合板离线 后，根据用户需要可能被裁切成块状，对于已经横 切成板的金属层合板，只需施加对称约束. 为了分析金属层合板在厚度方向上不均匀分 布的塑性延伸对其板形翘曲的影响，本文通过对 金属层合板施加不同的温度应力场来给定层合板 内部应力. 对于铜/碳钢层合板而言，选取碳钢层 长度方向的线膨胀系数为ɑs=1×10−5，铜层长度方 向的线膨胀系数为ɑc=1.94×10−5 . 对于不锈钢/碳钢 层合板而言，选取碳钢层长度方向的线膨胀系数 为ɑs=1×10−5，不锈钢层长度方向的线膨胀系数为 ɑc=1.04×10−5 . 无论铜/碳钢层合板还是不锈钢/碳钢 层合板，基层和覆层材料宽度和厚度方向的线膨 · 414 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期