ap[1-P(A)JP(AB)=P(AIP(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立。 5.设事件A与B相互独立,两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都 是,求P(A)和P(B) 解:∵P(AB)=P(AB)=,又∵:A与B独立 P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(AJP(B) P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)=A P(A)=P(B),P(A)-P2(A) 即P(A)=P(B)=-。 证明若P(A)>0,P(B)>0,则有 (1)当A与B独立时,A与B相容 (2)当A与B不相容时,A与B不独立 证明:P(A)>0,P(B)>0 (1)因为A与B独立,所以 P(AB)=P(A)P(B)>0,A与B相容 (2)因为P(AB)=0,而P(A)P(B)>0, P(AB)≠P(AP(B),A与B不独立 已知事件A,B,C相互独立,求证AUB与C也独立 证明:因为A、B、C相互独立, P[(∪B)∩C]=P(AC∪B P(AC)+ P(BC)-P(ABC) P(AP(C)+P(B)P(C)-P(AP(B)P(C) [P(A)+P(B)-P(AB)IP(C)= P(AUB)P(C) A∪B与C独立 8甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为07,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解: 令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8.P(A3)=0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾6 即 [1− P(A)]P(AB) = P(A)[P(B) − P(AB)]  P(AB) = P(A)P(B) ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 4 1 ，求 P(A) 和 P(B). 解： 4 1  P(AB) = P(AB) = ，又  A 与 B 独立  4 1 P(AB) = P(A)P(B) = [1− P(A)]P(B) = 4 1 P(AB) = P(A)P(B) = P(A)[1− P(B)] = 4 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2  P A = P B P A − P A = 即 2 1 P(A) = P(B) = 。 6. 证明 若 P(A) >0， P(B) >0，则有 （1）当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （2）当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： P(A)  0,P(B)  0 （1）因为 A 与 B 独立，所以 P(AB) = P(A)P(B)  0 ， A 与 B 相容。 （2）因为 P(AB) = 0 ，而 P(A)P(B)  0 ，  P(AB)  P(A)P(B)， A 与 B 不独立。 7. 已知事件 A, B,C 相互独立，求证 A B 与 C 也独立。 证明：因为 A 、 B 、C 相互独立，  P[(A B) C] = P(AC  BC) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P AB P C P A B P C P A P C P B P C P A P B P C P AC P BC P ABC = + − =  = + − = + −  A B 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 1 2 3 A , A , A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 P(A1 ) = 0.7,P(A2 ) = 0.8,P(A3 ) = 0.9 令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾