习题1.2解答 1.假设一批产品中 、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不 是三等品,求取到的是一等品的概率。 解 令A1=“取到的是i等品”,i=1,2,3 P(41)=P(44) P(A1)062 P(43)P(A3)093° 2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合 格品,求另一件也是不合格品的概率 解 j件中至少有一件不合格”,B=“两件都不合格” P(B|4)= P(AB) P(B) P(A)1 P(A)1-%C 3.为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和Il两种报警系统单独使用 时,系统I和Ⅱ有效的概率分别092和093,在系统I失灵的条件下,系统Ⅱ仍有效 的概率为085,求 (1)两种报警系统I和Ⅱ都有效的概率 2)系统Ⅱ失灵而系统I有效的概率 (3)在系统Ⅱ失灵的条件下,系统I仍有效的概率 解:令A=“系统(I)有效”,B=“系统(Ⅱ)有效” 则P(A)=0.92,P(B)=093,P(B|A)=0.85 (1) P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) P(B)-P(A)P(B|A)=0.93-(1-0.92)×085=0.862 (2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.92-0862=0058 (3)P(A|B) P(AB)0.058 ÷0.8286 P(B)1-0.9 4.设0<P(A)<1,证明事件A与B独立的充要条件是 P(BLA=P(BJA) →:∵A与B独立,∴A与B也独立 P(BA=P(B), P(B LA)=P(B) P(BJA=P(BJA) :∵:0<P(A)<1∴0<P(A)< P(BIA=P(AB) (B|=(AB) P(A) 而由题设P(B1A)=P(BA):.P(AB)_P(AB) P(A) P(A)5 习题 1.2 解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果不 是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 Ai = “取到的是 i 等品”， i = 1,2,3 3 2 0.9 0.6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 1 3 = = = = P A P A P A P A A P A A 。 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合 格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A = “两件中至少有一件不合格”， B = “两件都不合格” 5 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 2 10 2 6 2 10 2 4 = − = − = = C C C C P A P B P A P AB P B A 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效 的概率为 0.85，求 （1）两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （2）系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （3）在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解：令 A = “系统（Ⅰ）有效” ， B = “系统（Ⅱ）有效” 则 P(A) = 0.92,P(B) = 0.93,P(B | A) = 0.85 （1） P(AB) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A)P(B | A) = 0.93− (1− 0.92)0.85 = 0.862 （2） P(BA) = P(A− AB) = P(A) − P(AB) = 0.92 − 0.862 = 0.058 （3） 0.8286 1 0.93 0.058 ( ) ( ) ( | ) = − = =  P B P AB P A B 4. 设 0  P(A)  1 ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是 P(B | A) = P(B | A) 证： ： A 与 B 独立，  A 与 B 也独立。 P(B | A) = P(B), P(B | A) = P(B) P(B | A) = P(B | A) ： 0  P(A) 1 0  P(A) 1 又 ( ) ( ) , ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A P A P AB P B A = = 而由题设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) P A P AB P A P AB P B A = P B A  =