移A的范围内可认为力是恒力F力在元位移A中对物体所作的元功以△4表示由 式(22)知: △A=F·AF 把a到b的总路程分为N个位移元,并考虑N→∞,求和变为积分,则沿此曲线力所 作的总功为 A=F…AF一 0「dA=「F…d (24) 式中a、b表示曲线运动的起点和终点(24)式即为计算变力作功的一般公式在数学上 称为F的曲线积分其在直角坐标系中可表示为 A=d=F·d=(F2+F+Fd) (25) 例2.1如图23所示水平外力P把单摆从铅直位置(平衡位置)O点拉到与铅直 线成θ角的位置试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度l为已知且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态) T 解由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向P-Tsin0=0 竖直方向Tcos0-mg=0 可得P= mg tan0(变力) 当小球在θ位置处沿圆弧作微位移φ时,力P所作的元功为 dA= P.dr= Pdrcos 0= Pcos e lde= mgl sin e de 单摆在θ从0到00的过程中拉力P所作的功为 A=da= mglsin0 de=mgl(1-cos 0o) 同样可讨论重力对小球所作功。 例22一质量为2×103kg的卡车启动时在牵引力F=6×103N的作用下,自原点 处从静止开始沿ⅹ轴作直线运动求在前10s内牵引力所作的功 解已知力与时间的关系F=6×103N,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出x()的表达式才能计算力的功2 移 i r   的范围内可认为力是恒力 Fi  .力在元位移 i r   中对物体所作的元功以 Ai 表示.由 式(2.2)知: i i i A F r    =   (2.3) 把 a 到 b 的总路程分为 N 个位移元,并考虑 N→∞，求和变为积分，则沿此曲线力所 作的总功为    = • ⎯⎯⎯ ⎯→ = • →  → = b a b a N r N i i i A F r dA F dr      0 1 , (2.4) 式中 a、b 表示曲线运动的起点和终点.(2.4)式即为计算变力作功的一般公式,在数学上 称为 F 的曲线积分.其在直角坐标系中可表示为    = = • = + + b a x y z b a b a A dA F dr (F dx F dy F dz)   (2.5) 例 2.1 如图 2.3 所示,水平外力 P 把单摆从铅直位置(平衡位置)O 点拉到与铅直 线成 0 角的位置.试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度 l为已知,且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态). 解 由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向 P −T sin = 0 竖直方向 T cos  − mg = 0 可得 P = mg tan（变力） 当小球在  位置处沿圆弧作微位移 dr  时,力 P 所作的元功为 dA = P• dr = Pdr cos = Pcos ld = mglsin d   单摆在  从 0 到 0 的过程中拉力 P 所作的功为 sin ( cos )0 0 1 0 = =   = −     A dA mgl d mgl 同样可讨论重力对小球所作功。 例 2.2 一质量为 2 10 kg 3  的卡车启动时在牵引力 6 10 N 3 F t x =  的作用下,自原点 处从静止开始沿 x 轴作直线运动.求在前 10s 内牵引力所作的功. 解 已知力与时间的关系 6 10 N 3 F t x =  ,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出 x(t) 的表达式才能计算力的功.   0 l T mg m s P P