《数学分析(I)》主要针对一元函数建立微分学与积分学,一元微分学主 要涉及:数列的极限、函数的极限、函数的导数、闭区间上连续函数的性质、无限 小增量公式、有限增量公式、函数局部行为研究、函数全局行为研究等;一元积分 基本内容学主要涉及: Riemann积分的定义、Rman积分的应用理论、 Riemann积 简介 分的分析理论、 Riemann积分的计算理论、广义积分,以及常微分方程基础等 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求 数学(数理知识体系)可理解为,按量化观点(包括定量与定性刻画),认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面,对于数学作为的认识,取决于对数学自身的认识 按上述观点,对于《数学分析(Ⅰ)》课程,需要学生系统、深入地掌握以一元函数为基 本对象所开展的一元微分学与积分学,以及常微分方程基础,具体归纳为以下主要方法 1.数列极限的计算方法包括典型的分析方法(涉及分部估计、Abel和式估计等);引入无 穷小量的做法;处理带有和式的数列极限( Stolz定理、化为定积分);转为为函数极限处 理。 2.无限小分析方法主要为获得函数的局部高阶多项式逼近,以此可有效处理函数极限、数 列极限。方法主要包括基本初等函数的展开;技术性引理(逐项求导、逐项求积); Landau 符号的性质(表现为抓住主要矛盾忽略次要矛盾) 3.函数导数的计算方法包括充分性方法(四则运算、链式求导),涉及参数形式函数、隐 式定义函数的求导;极限分析方法(针对分段函数) 4.函数的定性作图方法用于定性绘制平面 Monge型曲线、一般参数曲线,涉及确定渐近 线、单调区间、凹凸区间等。 5.一致连续性的分析方法分为有界区间与无界区间上连续函数二类情形。有界区间上连续 函数的一致连续性的判定等同于判定函数是否可以连续延拓至边界点。 6.不定积分的计算方法包括基本方法(第一类换元法、第二类换元法、分部积分方法); 隶属有理化的换元法(涉及处理根式、三角函数的变换, Euler变换与Abel变换等);若 千基于结构的处理方法 7.定积分与广义积分的计算方法定积分的计算一般基于 Newton-Leibniz公式,就此需确 认原函数;广义积分的积分(认定收敛)一般先获得以积分限为自变量的函数,然后再取 极限;典型广义积分的计算,包括 Euler积分、 Froullani积分(涉及积分第一中值定理) 等。定积分与广义积分计算需要特别注意利用对称性 8.广义积分敛散性的分析方法可归纳判定绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性、发散性 的判定方法,按上述分析流程可获得对绝对收敛性、条件收敛性、发散性的判定。值得指 出,无限小分析方法在广义积分敛散性的判定中亦起到重要的作用。4 基本内容 简介 《数学分析（Ⅰ）》 主要针对一元函数建立微分学与积分学，一元微分学主 要涉及：数列的极限、函数的极限、函数的导数、闭区间上连续函数的性质、无限 小增量公式、有限增量公式、函数局部行为研究、函数全局行为研究等；一元积分 学主要涉及：Riemann 积分的定义、Riemann 积分的应用理论、Riemann 积 分的分析理论、Riemann 积分的计算理论、广义积分，以及常微分方程基础等。 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求:. 数学（数理知识体系）可理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面，对于数学作为的认识，取决于对数学自身的认识。 按上述观点，对于《数学分析（Ⅰ）》课程，需要学生系统、深入地掌握以一元函数为基 本对象所开展的一元微分学与积分学，以及常微分方程基础，具体归纳为以下主要方法： 1. 数列极限的计算方法 包括典型的分析方法（涉及分部估计、Abel 和式估计等）；引入无 穷小量的做法；处理带有和式的数列极限（Stolz 定理、化为定积分）；转为为函数极限处 理。 2. 无限小分析方法 主要为获得函数的局部高阶多项式逼近，以此可有效处理函数极限、数 列极限。方法主要包括基本初等函数的展开；技术性引理（逐项求导、逐项求积）；Landau 符号的性质（表现为抓住主要矛盾忽略次要矛盾）。 3. 函数导数的计算方法 包括充分性方法（四则运算、链式求导），涉及参数形式函数、隐 式定义函数的求导；极限分析方法（针对分段函数）。 4. 函数的定性作图方法 用于定性绘制平面 Monge 型曲线、一般参数曲线，涉及确定渐近 线、单调区间、凹凸区间等。 5. 一致连续性的分析方法 分为有界区间与无界区间上连续函数二类情形。有界区间上连续 函数的一致连续性的判定等同于判定函数是否可以连续延拓至边界点。 6. 不定积分的计算方法 包括基本方法（第一类换元法、第二类换元法、分部积分方法）； 隶属有理化的换元法（涉及处理根式、三角函数的变换，Euler 变换与 Abel 变换等）；若 干基于结构的处理方法。 7. 定积分与广义积分的计算方法 定积分的计算一般基于 Newton-Leibniz 公式，就此需确 认原函数；广义积分的积分（认定收敛）一般先获得以积分限为自变量的函数，然后再取 极限；典型广义积分的计算，包括 Euler 积分、Froullani 积分（涉及积分第一中值定理） 等。定积分与广义积分计算需要特别注意利用对称性。 8. 广义积分敛散性的分析方法 可归纳判定绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性、发散性 的判定方法，按上述分析流程可获得对绝对收敛性、条件收敛性、发散性的判定。值得指 出，无限小分析方法在广义积分敛散性的判定中亦起到重要的作用